专题2.9 函数的零点（原卷版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第二章函数

专题2.9函数的零点

1.理解函数的零点与方程的解的联系.

2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.

3.了解用二分法求方程的近似解．

考点一零点所在区间判断

考点二判断零点的个数

考点三根据零点求的个数参数

考点四根据零点的分布求参数

1．函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．

(2)函数零点与方程实数解的关系

方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．

(3)函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即?x0∈(a，b)，f(x0)＝0.

2．二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

常用结论

1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．

2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

第一部分核心典例

题型一零点所在区间判断

1．方程的根所在区间是（????）

A． B． C． D．

2．函数的一个零点所在的区间为（????）

A． B． C． D．

3．函数的零点所在区间是（????）

A． B． C． D．

题型二判断零点的个数

4．设函数，则函数的零点的个数是（????）

A．2 B．3 C．4 D．6

5．已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（????）

A．1 B．3 C．5 D．7

6．已知函数，则方程的根的个数是（????）

A．9 B．8 C．7 D．6

题型三根据零点求的个数参数

7．已知函数，若的零点个数为2，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

8．函数的定义域为，当时，且，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

9．已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

题型四根据零点的分布求参数

10．已知方程有两个不同的解，则（????）

A． B．

C． D．

11．已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（????）

A． B．

C． D．

12．函数，若互不相同，且，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

第二部分课堂达标

一、单选题

1．函数的一个零点在内，另一个零点在（????）内.

A． B． C． D．

2．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则（????）

A． B． C． D．

3．已知方程的解在内，则（????）

A．3 B．2 C．1 D．0

4．关于的函数的两个零点为，且，则＝（）

A． B．

C． D．

5．已知函数，若关于x的方程有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．若方程有两个不相等的正实数解，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

7．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

8．已知函数，且满足对任意的，总有，的图象上关于轴对称的点恰好有3对，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列说法正确的是（????）

A．函数的零点是，

B．方程有两个解

C．函数的图象关于对称

D．已知函数的一个零点，用二分法求精确度为0.01的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最少需要的次数为8次

10．已知函数，则下列命题中，正确的有（????）

A．函数的值域为；

B．函数的单调增区间为；

C．方程有两个不同的实数解；

D．函数的图象关于直线对称．

三、填空题

11．已知函数则函数的所有零点构成的集合为．

12．若二次函数在区间上存在零点，则实数m的取值范围是.

四、解答题

13．已知函数是偶函数.当时，.

(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；

(2)已知，试讨论的零点个数，并求对应的的取值范围.

14．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在上有三个零点，求的取值范围．

15．记，分别为函数，的导函数.若存在实数，满足且，则称为函数与的一个“S点”.

(1)证明：函数与不存在“S点”；

(2)若存在实数b，使得函数与存在“S点”，求实数a的取值范围；

(3)已知函数，.对任意常数，判