专题3.4 导数的综合问题（原卷版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第三章导数及其应用

专题3.4导数的综合问题

1.函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．

2.恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大．

3.函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现．

考点一函数中的构造问题

考点二恒(能)成立问题

考点三函数零点问题

知识梳理

函数中的构造问题

(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；

(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq\f(f?x?,xn).

(3)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；

(4)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq\f(f?x?,enx).

（5）函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式

F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；

F(x)＝eq\f(f?x?,sinx)，F′(x)＝eq\f(f′?x?sinx－f?x?cosx,sin2x)；

F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；

F(x)＝eq\f(f?x?,cosx)，F′(x)＝eq\f(f′?x?cosx＋f?x?sinx,cos2x).

（6）指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成lnex然后构造函数；另一种是将x变成elnx然后构造函数．

2.恒(能)成立问题

(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；

a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；

a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；

a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.

3.函数零点问题

（1）利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．

（2）含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．

第一部分核心典例

题型一函数中的构造问题

1．已知，，，则（????）

A． B．

C． D．

2．设，，，则a，b，c的大小关系为（????）

A． B． C． D．

3．已知为自然对数的底数，则（????）

A． B． C． D．

4．设，，，则（????）

A． B．

C． D．

5．若，则（????）

A． B．

C． D．

题型二恒(能)成立问题

6．设函数，若对任意，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

7．若实数，满足，则（????）

A． B．

C． D．

8．若函数，满足恒成立，则的最大值为（????）

A．3 B．4 C． D．

9．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

10．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

题型三函数零点问题

11．函数的零点所在的大致区间为（????）

A． B． C． D．

12．函数有三个零点，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

13．已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

14．已知函数，，，则函数的零点个数为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

15．设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

第二部分课堂达标

一、单选题

1．已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

2．已知，则的大小关系为（????）

A． B． C． D．

3．函数在区间(0,1)内的零点个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

4．设函数的导函数为，若在其定义域内存在，使得，则称为“有源”函数.已知是“有源”函数，则a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

5．若函数有极值点，，且，则关于x的方程的不同实数根个数是（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（????）