专题6.4 数列求和（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第六章数列

专题6.4数列求和

1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.

2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法．

考点一分组求和与并项求和

考点二错位相减法求和

考点三裂项相消法求和

知识梳理

接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．

(1)等差数列的前n项和公式：

Sn＝eq\f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq\f(n?n－1?,2)d.

(2)等比数列的前n项和公式：

Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1)).

2．分组求和法与并项求和法

(1)分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

(2)并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

常见的裂项技巧

(1)eq\f(1,n?n＋1?)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).

(2)eq\f(1,n?n＋2?)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).

(3)eq\f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).

(4)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).

(5)eq\f(1,n?n＋1??n＋2?)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n?n＋1?)－\f(1,?n＋1??n＋2?))).

第一部分核心典例

题型一分组求和与并项求和

1．已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项．

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前项和；

(3)记比较与的大小.

【详解】（1）因为，

依题意，

故，由得，

解得或2，

因为，所以，，

故，

其中，故公比，

所以；

（2），

故

；

（3）

所以

当时，，当时，，

所以，当时，.

2．已知数列的前n项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前2n项和．

【详解】（1）当时，，

当时，，因为也符合上式．

所以．

（2）由（1）可知，

所以

．

3．已知数列满足：.

(1)求出数列的通项公式；

(2)已知数列满足，试求数列前n项和的表达式.

【详解】（1）因为，

所以当时，，

两式相减得，，

当时，，满足上式，

所以数列的通项公式为；

（2）由（1）知，，

当时，，

当时，恒成立，

所以

.

题型二错位相减法求和

4．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【详解】（1）由题意得，即，解得，

所以的通项公式为；

（2），

故①，

②，

①-②得，

故.

5．已知数列满足，．

(1)证明：是等比数列．

(2)设，求数列的前n项和．

【详解】（1）由，得，

所以，又,

故是公比为3的等比数列；

（2）由（1）得，则，．

所以，

所以．

两式相减，得，

所以，

解得．

6．记为数列的前项和，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【详解】（1）由得，

1.当时，所以则，

2.若时，①

②

由得，得，

3.当时，也满足，；

（2）因为，

所以③

④

由④-③得，

题型三裂项相消法求和

7．已知数列的各项均为正数，其前n项和记为，且其中λ为常数．

(1)若数列为等差数列，求；

(2)若，求数列的前20项和．

【详解】（1）在中，令，得，

求得，同理可得，

∵数列为等差数列，∴，∴∴，∴公差，

∴；

（2）由①，得②

②①得，又，∴．

∴数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差均为λ，且λ=2，

又∵，∴，，

∴

．

8．已知数列是以3为首项，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【详解】（1）设的公差为，因为，，成等比数列，所以，即，又，所以，

故．

（2）由（1）可得，，

则．

9．设数列的前n项和为，若

(1)求数列的通项公式；

(2)若，数列的前n项和为，证明：.

【详解】（1）因