专题7.1 几何体的表面积、体积（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第七章立体几何与空间向量

专题7.1几何体的表面积、体积

认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.

3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．

考点一空间几何体的特征

考点二几何体的表面积

考点三几何体的体积

知识梳理

1．空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

名称

棱柱

棱锥

棱台

图形

底面

互相平行且全等

多边形

互相平行且相似

侧棱

平行且相等

相交于一点但不一定相等

延长线交于一点

侧面形状

平行四边形

三角形

梯形

(2)旋转体的结构特征

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

图形

母线

互相平行且相等，垂直于底面

相交于一点

延长线交于一点

轴截面

矩形

等腰三角形

等腰梯形

圆

侧面展开图

矩形

扇形

扇环

2.直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半．

3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl

S圆台侧＝π(r1＋r2)l

4．柱、锥、台、球的表面积和体积

名称

几何体

表面积

体积

柱体

S表＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体

S表＝S侧＋S底

V＝eq\f(1,3)Sh

台体

S表＝S侧＋S上＋S下

V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h

球

S表＝4πR2

V＝eq\f(4,3)πR3

第一部分核心典例

题型一空间几何体的特征

1．下列说法正确的是（????）

A．多面体至少有5个面

B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形

【答案】D

【详解】对于A，一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，故A错误；

对于B，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点，故B错误；

对于C，反例如下图，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；故C错误；

对于D，根据棱柱的定义，知选项D正确.

故选：D

??

2．下列说法不正确的是（???）

A．直四棱柱是长方体 B．正方体是平行六面体

C．长方体是平行六面体 D．平行六面体是四棱柱

【答案】A

【详解】解：对于选项A，直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，

故A错误；

对于选项B，正方体的对面平行，是平行六面体，故B正确；

对于选项C，长方体的对面平行，是平行六面体，故C正确；

对于选项D，平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，故D正确；

故选：A.

3．某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．若是母线的一个三等分点（靠近点S），从点A到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（????）

????

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】将圆锥侧面沿母线展开，其侧面展开图为如图所示的扇形，则的长度即为灯光带的最小长度，

??

，，

在中，，，

，

解得：，即灯光带的最小长度为.

故选：C.

4．下列说法正确的是（????）

A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

C．多面体至少有5个面

D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形

【答案】D

【详解】A选项：各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故A错；

B选项：有2个面平行，其余各面都是梯形，但若是各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故B错；

C选项：多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体，故C错；

D选项：根据棱柱的定义可知六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，故D正确.

故选：D.

5．按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是（????）

????

A．等边三角形 B．直角三角形

C．腰和底边不相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形

【答案】A

【详解】原如图所示：

??

由斜二测画法的规则可知，，，，

所以，故为等边三角形，

故选：A．

题型二几何体的表面积

6．已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（????）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【详解