专题8.8 直线与圆锥曲线的位置关系（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第八章平面解析几何

专题8.8直线与圆锥曲线的位置关系

1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.

2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.

3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．

考点一直线与圆锥曲线的位置关系

考点二弦长问题

考点三中点弦问题

1．直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交?Δ0；直线与圆锥曲线相切?Δ＝0；直线与圆锥曲线相离?Δ0.

特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．

②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．

2．弦长公式

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，

则|AB|＝eq\r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)

＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|

＝eq\r(1＋k2)eq\r(?x1＋x2?2－4x1x2)

或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|

＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(?y1＋y2?2－4y1y2).

题型一直线与圆锥曲线的位置关系

1．直线l：与椭圆C：的位置关系是（????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

【答案】A

【详解】将直线l：变形为l：，

由得，于是直线l过定点，

而，于是点在椭圆C：内部，

因此直线l：与椭圆C：相交．

故选：A．

??

2．双曲线与直线的公共点的个数为（????）

A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2

【答案】C

【详解】因为双曲线的渐近线方程为，

所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点；

当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点.

故选：C

??

3．已知双曲线为双曲线的左?右焦点，若直线过点，且与双曲线的右支交于两点，下列说法正确的是（????）

A．双曲线的离心率为

B．若的斜率为2，则的中点为

C．若，则的面积为

D．使为等腰三角形的直线有3条

【答案】BCD

【详解】对于A，由双曲线方程得，故，则离心率，故A错误，

对于B，由方程知，则直线的方程为，

联立双曲线方程化简得，设，

则，故，而，

则，故的中点为，故B正确，

对于C，若，根据双曲线定义得，由余弦定理可得

，即，

可得，所以的面积为，故C正确；

对于D，当直线轴时，可得，为等腰三角形；

??

根据双曲线定义得，

两式相加得，

不妨设，

若，则，

??

所以，解得，可得，此时为等腰三角形；

若，则，

所以，解得，可得，此时为等腰三角形，综上使为等腰三角形的直线有3条，故D正确.

??

故选：BCD.

4．在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】如下图所示：

??

根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，

点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，

联立，消去整理可得，

，因为，解得，

所以，椭圆在点处的切线方程为，

因此，点到直线的距离的最大值为,

联立，

可得点的坐标为.

故选：B.

5．已知O为坐标原点，点是抛物的准线上一点，过点E的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为点是抛物的准线上一点，所以，解得，

所以抛物，

依题意直线的斜率存在且不为，设斜率为，则直线的方程为，

由，消去整理得①，

由，解得或，

设，，所以，，

因为，则，即，

而

，

所以，解得或，

当时直线即过坐标原点，不符合题意，故舍去；

当时直线即，令解得，所以直线与轴交于点，

将代入①得，解得、，

所以.

??

故选：B

题型二弦长问题

6．过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（????）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】A

【详解】由题意直线斜率存在，

可设过点的切线方程为，

与抛物线方程联立可得：

，

所以，解之得，

??

如图所示，设，则，

当时，，即，

当时，，即，

所以.

故选：A

7．通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（????）

A． B．3 C． D．6

【答案】B

【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线，

代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.

故选：B

8．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：由得，所以，

因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，

所以该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度就等于双曲线的通径，

故选：B

9．已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为