《正定矩阵的应用分析综述》1400字.docx

正定矩阵的应用分析综述

1.1正定矩阵在凸函数判定中的应用

定理5REF_Ref23023\r\h[3]设是定义在非空凸集上的二阶连续可微函数,则若的Hesse矩阵在上正定,则是上的严格凸函数.

例9判断是否为凸函数

解的Hesse矩阵

由于一阶和二阶顺序主子式都大于零,故的Hesse矩阵正定的,从而是严格凸函数.

1.2正定矩阵在求解函数极值点中的应用.

定理6REF_Ref25145\r\h[8]设二元函数在点具有二阶连续的偏导数，记

则在数学分析中有如下结论：

当而时，函数在点有极大值；

当而时，在点有极小值；

当时，此时函数无极值.

若令则上述结论中的条件可以简单的归结为该矩阵是正定的、负定的、不定的.

更一般的，对于任意元的多元函数，也可以依据相应的矩阵的正定性判断其极值.

哈森矩阵定义设元函数在点具有二阶连续偏导数，我们就称矩阵为函数在点的哈森矩阵.由二阶偏导数的连续性得知矩阵是对称矩阵，则有以下定理.

定理7REF_Ref25145\r\h[8]设元函数在点的某领域内具有一阶及二阶连续偏导数，又有，则：

矩阵是正定矩阵时，函数在点取极小值；

矩阵是负定矩阵时，函数在点取极大值；

矩阵是不定矩阵时，函数在点不取极值；

例8求多元函数的极值.

解由，求解得

则可求得点.

再求哈森矩阵.因为则由且对角线元素皆为正，所以矩阵是正定的，则是的极小值，且在点的极小值为.

1.3正定矩阵在积分中的运用

正定矩阵在积分中的运用，一般地须先由矩阵正交变换后得到的行列式，并且得出其特征值大于零.然后由正交变换后的到的行列式再进行等价变化后得到一个行列式.最后根据积分的公式，将之前所求对应的行列式代入可证.

例9证明：椭球体的体积等于其中是正定矩阵.

证是正定矩阵，正交矩阵，使得为的特征值，令作等价变换,则由此变换的行列式为

所以.

1.4正定矩阵在普通不等式中的应用

定理8阶实对称矩阵是正定矩阵是由于其对应的实二次型其中而二次型正定是指对任意因此可以利用此性质来证明不等式是否成立.

例10证明不等式(其中是不全为零的实数)成立.

证令其系数矩阵为

，

的各阶顺序主子式为,则为正定矩阵.因此对于任意一组不全为零的都有,故原不等式成立.

例11证明不等式成立

证令

则二次型为

则

A的各阶顺序主子式=0,=所以是半正定的，那么二次型是半正定的，即所以原不等式成立.

1.5正定矩阵在解决矩阵问题中的运用

由已知的正定矩阵的性质定理去证明其他矩阵问题，去解决与证明与正定矩阵相关的矩阵问题，

例12REF_Ref25860\r\h[9]若都是阶实对称矩阵，且是正定矩阵.证明存在一个阶实可逆矩阵使与同时为对角型.

证因为是正定的，所以合同于，即存在可逆矩阵使且是阶实对称矩阵，则存在正交矩阵使

则取则为所求.

例13若是实对称的正定矩阵，则存在使均是正定矩阵.

证若的特征值为，则的特征值为所以存在使得特征值大于零，其余同理可证.

例14若是阶正定矩阵，有.

证与都是阶实对称正定矩阵，所以存在一阶实可逆矩阵使

其中为的特征值且大于零.所以为的特征值，也是大于零的，

因此.

1.6正定矩阵在柯西不等式中的运用

定理9REF_Ref23023\r\h[3]形如

的不等式就是柯西不等式，我们将它用内积来表示为，下面用正定矩阵来表示柯西不等式.设是一个阶正定矩阵，存在对任意向量与，定义表示为

从而可以证明由定义的一定是维向量间的内积，反之，对于维向量间的任意一种内积，一定存在一个阶正定矩阵，使得对任意向量、可由来定义，因此给定一个阶正定矩阵，在维向量间就可以由该矩阵定义一个内积，从而得到相应的柯西不等式：

当时，就变成了.

例15证明不等式

对于所有实数和均成立.

证从不等式来看,可知它相当于，其中是由矩阵所定义的，又因为矩阵是正定矩阵，所以就能得知该不等式就是由矩阵所确定的内积所产生的柯西不等式，所以不等式是成立的.