专题11.2 事件的相互独立与条件概率、全概率公式（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第十一章概率

专题11.2事件的相互独立与条件概率、全概率公式

1.了解两个事件相互独立的含义.

2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．

考点一相互独立事件的概率

考点二条件概率

考点三全概率公式的应用

1．相互独立事件

(1)概念：如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．

(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．

2．条件概率

(1)概念：一般地，当事件B发生的概率大于0(即P(B)0)时，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝eq\f(P?A∩B?,P?B?).

(2)两个公式

①利用古典概型：P(B|A)＝eq\f(n?AB?,n?A?)；

②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．

3．全概率公式

一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与Beq\x\to(A)是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋eq\x\to(A))＝BA＋Beq\x\to(A)，从而P(B)＝P(BA＋Beq\x\to(A))＝P(BA)＋P(Beq\x\to(A))，当P(A)0且P(eq\x\to(A))0时，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))．

常用结论

1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

2．贝叶斯公式：设A，eq\x\to(A)是一组对立事件，A＋eq\x\to(A)＝Ω，0＜P(A)＜1，则对任意事件B?Ω，P(B)＞0，有P(A|B)＝eq\f(P?A?P?B|A?,P?B?)＝eq\f(P?A?P?B|A?,P?A?P?B|A?＋P?\x\to(A)?P?B|\x\to(A)?).

题型一相互独立事件的概率

1．从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是，从两个口袋内各摸1个球，那么概率为的事件是（????）

A．两个都不是白球 B．两个不全是白球

C．两个都是白球 D．两个球中恰好有一个白球

【答案】B

【详解】解：∵从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是，

故两个球全是白球的概率为，

故两个球不全是白球的概率为，

故选：B.

2．某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】结合题意：甲队战胜乙队包含两种情况：

甲连胜2局，概率为，

前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为，

则甲战胜乙的概率为．

故选：D．

3．甲?乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码的概率均为0.4，则密码被破译的概率为（????）

A．0.36 B．0.48 C．0.64 D．0.54

【答案】C

【详解】由题意得密码未被破译的概率为，

所以密码被破译的概率为，

故选：C

4．某中学运动会上有一个项目的比赛规则是：比赛分两个阶段，第一阶段，比赛双方各出5人，一对一进行比赛，共进行5局比赛，每局比赛获胜的一方得1分，负方得0分；第二阶段，比赛双方各出4人，二对二进行比赛，共进行2局比赛，每局比赛获胜的一方得2分，负方得0分．先得到5分及以上的一方裁定为本次比赛的获胜方，比赛结束．若甲、乙两个班进行比赛，在第一阶段比赛中，每局比赛双方获胜的概率都是，在第二阶段比赛中，每局比赛甲班获胜的概率都是，每局比赛的结果互不影响，则甲班经过7局比赛获胜的概率是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】按照甲班在第一阶段获胜的局数，分类讨论如下：

（1）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．

（2）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．

（3）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．

（4）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．

所以所求概率，故A项正确.

故选：A.

5．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大