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《实际问题与反比例函数习题课》教案

【教学目标】

能建立反比例函数模型解决实际问题.

经历建立函数模型解决问题的过程，体会数学建模思想.

【教学重点】

建立反比例函数模型解决行程问题和药物浓度问题.

【教学过程】

教学环节

教学内容

设计意图

如图所示，反比例函数y=!的图象经过点A（3，2），B（a，-4），

则下列说法中错误的是（C） y

A.k=6 B.a=-# A

$

C.y随x的增大而减小 O x

D.当x＞3时，0＜y＜2 B

复习待定系数法求反

比例函数解析式、反

复习引入

比例函数的图象和性

质，为新课学习做准

备.

例1 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度用

以学生最熟悉的行程

6h到达目的地.

问题为背景，起点

低，问题设置有梯

（1）当他按原路匀速返回时，回到甲地用4.8h，那么返程时的平

度，让每个学生都敢

均速度是多少？

于思考并体会问题中

变量之间的依存关

（2）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函

系，独立建立起反比

数关系？

例函数模型.

（3）如果该司机必须在5h之内回到甲地，那么返程时的平均速

行程问题

度不能小于多少？

列表格，清晰地揭示

题目分析：

了三个量之间的关

系，当路程一定时，v，t之间建立的是反比例函数关系式，把生活中的实际问题转化为数学中反比例函数的模型；然后利用了函数的性质、图象解决了数学问题，从而解决了实际问题。

解：（1）由题意，知甲乙两地的路程为80×6=480（km），

回到甲地用4.8h，返程时的平均速度是%=100（km/h）.

%.

（2）由vt=480，可得汽车的速度v与时间t的函数关系式为v=%.

)

（3）把t=5代入v=%，得v=%=96（km/h）.

) *

对于v=%，当t＞0时，t越大，v越小.

)

因此，如果该司机必须在5h之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于96km/h.

图象法：

归纳方法：

转化（速度×时间=路程）

行程问题 数学问题（反比例函数）

方程或图象（函数的性质、数形结合）

呈现详细解题过程，

突出方程法，帮助学

生规范表示.

利用图象法解题，帮

助学生从不同的角度

分析问题。

归纳用反比例函数解

决行程问题的一般方

法.

例2某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）

与服药时间x（时）之间的函数关系如图所示（当4≤x≤10时，

浓度问题，以图象的形式提供正、反比例函数的有关信息，突出待定系数法.

y与x成反比例）. 8y（微克/毫升）

（1）根据图象，分别求出血液中药

药物浓度

问题

物浓度上升和下降阶段时，y与x

之间的函数解析式； O 4 10x（时）

（2）结合图象，求血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时

间为多少小时?

分析题目：

题目解答：

解：（1）当0≤x＜4时，设y与x之间的函数解析式为y=kx.

把（4，8）代入y=kx，得8=4k，解得k=2.

所以y=2x（0≤x＜4）.

当4≤x≤10时，设y与x之间的函数解析式为y=+.

把（4，8）代入y=+，得8=+，解得m=32.

%

所以y=#$（4≤x≤10）.

所以血液中药物浓度上升和下降阶段时，y与x之间的函数解析

式分别为y=2x（0≤x＜4）和y=#$（4≤x≤10）.

（2）当血液中药物浓度不低于4微克/毫升时，y≥4.

把y=4代入y=2x，得4=2x，解得x=2；

把y=4代入y=#$，得4=#$，解得x=8.

结合图象，可知当2≤x≤8时，y≥4.

所以血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为8-2=6（小时）

归纳方法：

转化（图象）

药物浓度问题 数学问题（正、反比例）

利用解析式求解（待定系数法、数形结合）

归纳用反比例函数解决药物浓度问题的一般方法.

课堂练习

已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是(C)

t/h t/h t/h t/h

O v/(km

O v/(kmO v/(km O v/(km

（A） （B） （C） （D）

校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成1教室的药物喷洒要5min．消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式