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不等式六道练习题详解过程步骤

一.证明不等式：8xˣ≥x⁴+2x²+5

※.函数单调性证明法

对不等式证明进行分析，

证明：8xˣ≥(x⁴+2x²+5)，

即证明：ln8xˣ≥ln(x⁴+2x²+5),由两边同时取对数，

变形为：ln8+xlnx-ln(x⁴+2x²+5)≥0,

设f(x)=ln8+xlnx-ln(x⁴+2x²+5)，并取x＞0，可知：

f(1)=ln8+0-ln(1+2+5)=ln8-ln8=0.

对x求导有：

f(x)=lnx+1-(4x³+4x)/(x⁴+2x²+5),

=lnx+[(x⁴+2x²+5-4x³-4x)/(x⁴+2x²+5)]，

=lnx+[(x-1)(x³-3x²-x-5)/(x⁴+2x²+5)]，

本处要用到一个重要不等式，对于任意的不相等正数a,b，有

不等式(a-b)/(lna-lnb)≤(a+b)/2成立。

本题取a=x，b=1，则有：

(x-1)/(lnx-ln1)≤(x+1)/2,

化简为：lnx≥2(x-1)/(x+1),代入有：

f(x)≥2(x-1)/(x+1)+[(x-1)(x³-3x²-x-5)/(x⁴+2x²+5)],

=(x-1)[2*(x⁴+2x²+5)+(x+1)*(x³-3x²-x

-5)]/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],

=(x-1)(3x⁴-2x³-6x+5)/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],

=(x-1)(3x⁴-2x³-x-5x+5)/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],

=(x-1)[(x-1)(3x³+x²+x)-5(x-1)]/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],

=(x-1)²(3x³+x²+x)-5]/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],

=(x-1)²(3x³+x²-4+x-1)/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],

=(x-1)²[(x-1)(3x²+4x+4)+x-1]/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],

=(x-1)³[(3x²+4x+4)+1]/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],

=(x-1)³(3x²+4x+5)/[(x+1)(x⁴+2x²+5)],

1.当x≥1时，f(x)≥0，

2.当0＜x＜1时，f(x)＜0，

所以当x=1时，f(x)有最小值，即：

ln8+xlnx-ln(x⁴+2x²+5)≥f(1)=0,

综上，8xˣ≥x⁴+2x²+5得证。

二.比较A=9.5868×3.23437，B=9.5867×3.23438的大小

通过用逐差法、比商法等两种方法，介绍本题中两个数A和B

的大小。

思路一：逐差法

A-B

=9.5868×3.23437-9.5867×3.23438

=(9.5867+0.0001)×3.23437-9.5867×(3.23437+0.00001)

=9.5867×3.23437+0.0001×3.23437-9.5867×3.23437-9.5867

×0.00001

=0.0001×3.23437-9.5867×0.00001

=0.00001*(32.3437-9.5867)

0

所以AB,即：

9.5868×3.234379.5867×3.23438。

思路二：比商法

A/B

=9.5868×3.23437/9.5867×3.23438

=(9.5867+0.0001)(3.23438-0.00001)/9.5867×3.23438

=[9.5867×3.23438+0.00001×(32.3438-9.5867-0.0001)]/

9.5867×3.23438

=1+0.00001×(32.3438-9.5868)/9.5867×3.23438

∵32.3438-9.58680,

∴A/B1,即：