向量的数量积.docx

6.2.4向量的数量积

【题型归纳】

TOC\o12\h\u题型1平面向量数量积的运算 5

考点1平面向量数量积的简单计算 5

考点2平面几何图形中的向量数量积的计算 5

题型2向量的投影 6

题型3利用平面向量数量积求向量的模 7

题型4利用平面向量数量积求向量的夹角 7

题型5向量的垂直问题 8

题型6利用平面向量数量积判断三角形的形状 8

题型7利用平面向量数量积求最值 9

考点1求向量数量积的最值问题 9

考点2求向量模有关的最值问题 11

考点3求向量夹角有关的最值问题 11

巩固提升训练 12

知识点一向量的数量积

1．向量数量积的物理背景

如图，一个物体在力的作用下产生位移，且力与位移的夹角为，那么力所做的功.

其中是在物体位移方向上的分量的数量，也就是力在物体位移方向上正投影的数量.

我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.

2．向量的夹角

已知两个非零向量，，如图所示，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角，也常用表示.向量夹角的取值范围为.

向量夹角的特殊情形，如图(1)(2)(3)所示，

当时，向量，共线且同向；

当时，向量，相互垂直，记作；

当时，向量，共线且反向.

3．两个向量数量积的定义

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即.

规定：零向量与任一向量的数量积为0，即.

注：(1)在书写数量积时，与之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，更不能不写.

(2)向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由夹角的余弦值的符号决定.

(3)设两个非零向量与的夹角为，则

当时，，;

当为锐角时，，且;

当为直角时，，;

当为钝角时，，且;

当时，，.

(4)在运用数量积公式时，一定要注意向量夹角的范围是

4．向量的投影

如图(1)，设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

如图(2)，我们可以在平面内任取一点，作，.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.显然，在上的投影向量(与向量共线)与在上的投影向量(与向量共线)是不同的.

5．向量数量积的几何意义

如图，称为向量在向量上的投影的数量，可以表示为

向量的数量积的几何意义：

的长度与在上的投影的数量的乘积(如图)；或的长度与在上的投影的数量的乘积.

注：(1)在上的投影向量可能与同向，可能反向，也可能为，它的方向取决于角的范围.

具体情况，我们可以借助下面的图形进行分析：

的范围

图形

在上的投影向量

与同向

与同向

与反向

与反向

(2)由，得当为锐角时，，且；

当为钝角时，，且；

当时，;

当时；

当时，.

知识点二向量数量积的性质和运算律

1．向量数量积的性质

设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则

(1).

(2).

(3)当与同向时，;当与反向时，.

特别地，或

(4)，当且仅当向量，共线，即时，等号成立.

(5)

2．向量数量积的运算律

由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量，，和实数，有

(1)交换律:；

(2)数乘结合律:；

(3)分配律:.

知识点三向量数量积的常用结论

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立.

以上结论可作为公式使用.

【题型归纳】

题型1平面向量数量积的运算

考点1平面向量数量积的简单计算

1．（2425高一下·全国·课堂例题）已知等边的边长为1，求：

(1)；

(2)；

(3).

2．（2425高一上长上海·课后作业）已知，，按下列条件分别求：

(1)向量、的夹角为；

(2)；

(3).

3．（2324高一下·全国·课后作业）已知，，与的夹角为，求：

(1)；

(2)；

(3)．

考点2平面几何图形中的向量数量积的计算

4．（2324高一下·贵州遵义·阶段练习）已知是边长为的正三角形.

(1)求的值；

(2)设，，求的值.

5．（2425高三上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为.

6．（2425高三上·辽宁·期中）等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（???）

A． B． C． D．

7．（2324高一下·江苏·阶