线性代数第一行列式.ppt

第95页，共178页，星期日，2025年，2月5日由于所以故第96页，共178页，星期日，2025年，2月5日1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结第97页，共178页，星期日，2025年，2月5日思考题已知第98页，共178页，星期日，2025年，2月5日思考题解答解含的项有两项,即对应于第99页，共178页，星期日，2025年，2月5日第100页，共178页，星期日，2025年，2月5日第一章行列式§1二阶与三阶行列式§2全排列及其逆序数§3n阶行列式的定义§4对换§5行列式的性质§6行列式按行（列）展开§7克拉默法则第101页，共178页，星期日，2025年，2月5日一、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．例如第102页，共178页，星期日，2025年，2月5日二、对换与排列的奇偶性的关系定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为对换与除外，其它元素的逆序数不改变.第103页，共178页，星期日，2025年，2月5日当时，的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当时，现来对换与第104页，共178页，星期日，2025年，2月5日次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.第105页，共178页，星期日，2025年，2月5日推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.定理2阶行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数.证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立.证明按行列式定义有第106页，共178页，星期日，2025年，2月5日记对于D中任意一项总有且仅有中的某一项与之对应并相等;反之,对于中任意一项也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等,于是D与中的项可以一一对应并相等,从而第107页，共178页，星期日，2025年，2月5日定理3阶行列式也可定义为其中是两个级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.例1试判断和是否都是六阶行列式中的项.解下标的逆序数为所以是六阶行列式中的项.第108页，共178页，星期日，2025年，2月5日下标的逆序数为所以不是六阶行列式中的项.第109页，共178页，星期日，2025年，2月5日例2在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解431265的逆序数为所以前边应带正号.第110页，共178页，星期日，2025年，2月5日行标排列341562的逆序数为列标排列234165的逆序数为所以前边应带正号.第111页，共178页，星期日，2025年，2月5日例3用行列式的定义计算第112页，共178页，星期日，2025年，2月5日解第113页，共178页，星期日，2025年，2月5日1.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．2.行列式的三种表示方法三、小结第114页，共178页，星期日，2025年，2月5日其中是两个级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.第115页，共178页，星期日，2025年，2月5日思考题证明在全部阶排列中,奇偶排列各占一半.第116页，共178页，星期日，2025年，2月5日思考题解答证设在全部阶排列中有个奇排列,个偶排列,现来证.将个奇排列的前两个数对换,则这个奇