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模型7“角平分线”模型
基础模型
图示
条件
OP平分∠MON,点A为OM上一点,PA⊥OM
OP平分∠MON,点A为OM上一点
OP平分∠MON,点A为OM上一点,AP⊥OP
作法
过点P作PB⊥ON于点B
在ON上截取OB=OA,连接PB
延长AP交ON于点B
结论
1.△AOP≌△BOP;
2.PA=PB;
3.OA=OB
1.△AOP≌△BOP;
2.PA=PB
1.△AOP≌△BOP;
2.PA=PB;
3.OA=OB
结论分析
作法1结论:1.△AOP≌△BOP;2.PA=PB;3.OA=OB
证明:如图①,过点P作PB⊥ON于点B,
∴∠OAP=∠OBP=90°.
∵OP平分∠MON,∴∠AOP=∠BOP,
在△AOP和△BOP中,∠OAP=∠OBP
∴△AOP≌△BOP(AAS)(结论1),∴PA=PB(结论2),OA=OB(结论3).
作法2结论:1.△AOP≌△BOP;2.PA=PB
自主证明:如图②,在ON上截取OB=OA,连接PB.
作法3结论:1.△AOP≌△BOP;2.PA=PB;3.OA=OB
自主证明:如图③,延长AP交ON于点B.
模型拓展
拓展方向:角平分线+平行线构造等腰三角形
图示
条件
OP平分∠MON
作法
过点P作PQ∥ON交OM于点Q
过点Q作OP的平行线交NO的延长线于点R
结论
1.OQ=PQ;2.∠QOP=∠QPO
1.
模型解题三步法
例1如图,在△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AC于点E.若BD=3,CD=5,则△CDE的面积为.
例2如图,已知点D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD.若AC=9,BC=5,则BD的长为.
题以类解
1.如图,BH是∠ABC的平分线,BD和CD是△ABC两个外角的平分线,延长DC与BH交于点H,若∠D=60°,∠ACB=65°,则∠HBC的度数为()
A.27.5°B.30°C.32.5°D.35°
2.一题多解如图,∠BAC=60°,AD平分∠BAC,作AD的垂直平分线交AB于点E,交AC于点F,连接DF,DF恰好平分∠EFC,过点D作DG⊥AC于点G,若EF=5,则DG的长为()
A.52B.532
3.如图,在△ABC中,∠A=70°,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A?,∠A?BC的平分线与∠A?CD的平分线交于点A?,得∠A?,…,∠A????BC的平分线与∠A????CD的平分线交于点A????,则.∠
4.如图,在△ABC中,∠ABD=13∠ABC,∠BAE=1
5.如图,在△ABC中,∠A=120°,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,则∠BDC=,若BG,CG分别是∠ABC,∠ACB的外角平分线,则∠G=
模型7“角平分线”模型
模型展现
作法2自主证明:
初高教辅站如图②,∵OP平分∠MON,
∴∠AOP=∠BOP.
在△AOP和△BOP中,OA=OB∠AOP=∠BOP,OP=OP
∴△AOP≌△BOP(SAS)(结论1),
∴PA=PB(结论2).
作法3自主证明:
如图③,∵OP平分∠MON,
∴∠AOP=∠BOP,
∵AP⊥OP,∴∠APO=∠BPO=90°.
在△AOP和△BOP中,
∠AOP=∠BOPPO=PO
∴△AOP≌△BOP(ASA)(结论1),
∴PA=PB(结论2),OA=OB(结论3).
模型解题三步法
例16【解析】∵AD平分∠BAC,∠B=∠DEA=90°,根据“角平分线”模型可得:BD=DE=3,在Rt△CDE中,CE=CD
例2CD∠ACBBDCD
2【解析】如解图,延长BD交AC于点E,根据“角平分线”模型得BC=CE,BD=DE,∵AC=9,BC=5,∴CE=5,∴AE=AC-EC=9-5=4,∵∠A=∠ABD,∴BE=AE=4,∴BD=12BE=2.
题以类解
1.B一题多解
解法一:找模型:是否存在角平分线:BD平分∠ABC;缺少:过角平分线上一点平行于角一边的线段.构造模型:如解图①,过点D作DE
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