模型7 “角平分线”模型（含答案）2025年中考数学几何模型专题复习.docx

模型7“角平分线”模型

基础模型

图示

条件

OP平分∠MON,点A为OM上一点,PA⊥OM

OP平分∠MON,点A为OM上一点

OP平分∠MON,点A为OM上一点,AP⊥OP

作法

过点P作PB⊥ON于点B

在ON上截取OB=OA,连接PB

延长AP交ON于点B

结论

1.△AOP≌△BOP;

2.PA=PB;

3.OA=OB

1.△AOP≌△BOP;

2.PA=PB

1.△AOP≌△BOP;

2.PA=PB;

3.OA=OB

结论分析

作法1结论:1.△AOP≌△BOP;2.PA=PB;3.OA=OB

证明:如图①,过点P作PB⊥ON于点B,

∴∠OAP=∠OBP=90°.

∵OP平分∠MON,∴∠AOP=∠BOP,

在△AOP和△BOP中,∠OAP=∠OBP

∴△AOP≌△BOP(AAS)(结论1),∴PA=PB(结论2),OA=OB(结论3).

作法2结论:1.△AOP≌△BOP;2.PA=PB

自主证明:如图②,在ON上截取OB=OA,连接PB.

作法3结论:1.△AOP≌△BOP;2.PA=PB;3.OA=OB

自主证明:如图③,延长AP交ON于点B.

模型拓展

拓展方向：角平分线+平行线构造等腰三角形

图示

条件

OP平分∠MON

作法

过点P作PQ∥ON交OM于点Q

过点Q作OP的平行线交NO的延长线于点R

结论

1.OQ=PQ;2.∠QOP=∠QPO

1.

模型解题三步法

例1如图,在△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AC于点E.若BD=3,CD=5,则△CDE的面积为.

例2如图,已知点D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD.若AC=9,BC=5,则BD的长为.

题以类解

1.如图,BH是∠ABC的平分线,BD和CD是△ABC两个外角的平分线,延长DC与BH交于点H,若∠D=60°,∠ACB=65°,则∠HBC的度数为()

A.27.5°B.30°C.32.5°D.35°

2.一题多解如图,∠BAC=60°,AD平分∠BAC,作AD的垂直平分线交AB于点E,交AC于点F,连接DF,DF恰好平分∠EFC,过点D作DG⊥AC于点G,若EF=5，则DG的长为()

A.52B.532

3.如图,在△ABC中,∠A=70°,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A?,∠A?BC的平分线与∠A?CD的平分线交于点A?，得∠A?,…,∠A????BC的平分线与∠A????CD的平分线交于点A????,则.∠

4.如图,在△ABC中,∠ABD=13∠ABC,∠BAE=1

5.如图,在△ABC中,∠A=120°,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,则∠BDC=,若BG,CG分别是∠ABC,∠ACB的外角平分线,则∠G=

模型7“角平分线”模型

模型展现

作法2自主证明：

初高教辅站如图②,∵OP平分∠MON,

∴∠AOP=∠BOP.

在△AOP和△BOP中,OA=OB∠AOP=∠BOP,OP=OP

∴△AOP≌△BOP(SAS)(结论1),

∴PA=PB(结论2).

作法3自主证明：

如图③,∵OP平分∠MON,

∴∠AOP=∠BOP,

∵AP⊥OP,∴∠APO=∠BPO=90°.

在△AOP和△BOP中,

∠AOP=∠BOPPO=PO

∴△AOP≌△BOP(ASA)(结论1),

∴PA=PB(结论2),OA=OB(结论3).

模型解题三步法

例16【解析】∵AD平分∠BAC,∠B=∠DEA=90°,根据“角平分线”模型可得:BD=DE=3,在Rt△CDE中,CE=CD

例2CD∠ACBBDCD

2【解析】如解图，延长BD交AC于点E,根据“角平分线”模型得BC=CE,BD=DE,∵AC=9,BC=5,∴CE=5,∴AE=AC-EC=9-5=4,∵∠A=∠ABD,∴BE=AE=4,∴BD=12BE=2.

题以类解

1.B一题多解

解法一：找模型：是否存在角平分线：BD平分∠ABC；缺少：过角平分线上一点平行于角一边的线段.构造模型：如解图①，过点D作DE