圆与正多边形（9大题型）（45道压轴题专练）（解析版）—2024-2025学年九年级数学下册（沪教版）.pdf

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圆与正多边形压轴题专练（大题型道）

压轴题型一垂径定理问题

1eOABCDEACDODOACF

．如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点，连接、，延长交于点．

(1)求证：AF2=OF×DF；

(2)如果CD=8,BE=2，求OF的长．

(1)

【答案】见解析

25

(2)

11

1CE=DEAC=AD

【分析】（）利用垂径定理得出，利用线段垂直平分线定理得出，利用等腰三角形三线

合一性质得出ÐFAO=ÐDAO，利用等边对等角得出ÐDAO=ÐODA，等量代换得出ÐFAO=ÐODA，可证

VAFO∽VDFA，再利用相似三角形的性质即可得证；

2Rt△DEORtVADEAD1

（）在中，利用勾股定理求出半径，在中，利用勾股定理求出，然后利用（）中相

似三角形的性质求解即可．

1AD

【详解】（）解：连接，

∵直径AB垂直于弦CD，

1

∴CE=DE=CD，

2

∵AE^CD，

∴AC=AD，

∴ÐFAO=ÐDAO，

∵AO=DO，

∴ÐDAO=ÐODA，

∴ÐFAO=ÐODA，

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又ÐAFO=ÐDFA，

∴VAFO∽VDFA，

AFDF

∴=，

OFAF

∴AF2=OF×DF

1

2CE=DE=CDCD=8

（）解：∵，，

2

∴CE=DE=4，

r

设半径为，

∵BE=2，

∴OE=r-2，

在Rt△DEO中，OE2+DE2=DO2，

222

∴r-2+4=r，

解得r=5，

∴OE=3，AE=AO+OE=8，

∴AD=AE2+DE2=45，

∵VAFO∽VDFA，

AFOFAOAFOF5

∴==，即==，

DFAFADOF+5AF45

ì

45OF=5AF25

ï

整理得í，解得OF=

5OF+25=45AF11

ï

î

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题

意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键．

2VABC