药学高数10微分及其应用.pptVIP

第六节微分及其应用一、微分二、微分的几何意义三、一阶微分形式不变性四、微分的应用微分01一块正方形金属薄片受温度变化的影响时,其边长由x0变化到x0+?x,问此薄片的面积改变了多少?02定义2-4设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+?x在这区间内，如果函数的增量?y=f(x0+?x)-f(x0)可表示为?y=A?x+o(?x)其中A是不依赖于?x的常数，而o(?x)是比?x高阶的无穷小，则称函数y=f(x)在点x0是可微的(differentiable)，而A?x叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量?x的微分(differential),记为dy，即dy=A?x函数y=f(x)在任意点x处的微分,称为函数的微分,记为dy或df(x)dy=A?x函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是f(x)在点x0可导，且dy=f?(x0)?x。即可导?可微dy=f?(x0)?x证明(1)必要性(2)充分性即例2-53求函数y=esinx的微分。解dy=y?dx=(esinx)?dx=esinx(sinx)?dx=esinxcosxdx例2-54求函数y=xlnx在x=e,当?x=1时的微分。解dy=y??x=(xlnx)??x=(1+lnx)?x二、微分的几何意义当自变量x在点x0处取增量?x时，由于曲线y=f(x)上点(x0,y0)处的切线方程为：Y=f(x0)+f?(x0)(x-x0)所以?Y=f(x0)+f?(x0)(x0+?x-x0)]-[f(x0)+f?(x0)(x-x0)]=f?(x0)?x=dy即微分是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线上纵坐标的相应增量。MNT）P一阶微分形式不变性结论：微分形式的不变性例2-55y=e1-3xcox，求dy。解例2-56y=lnsin(x+1)2,求dy。解法一解法二由一阶微分形式不变性知例2-57设y=y(x)是由y3-3y+2ax=0所确定的函数，求dy。解两边同时微分d(y3-3y+2ax)=d(0)d(y3)-3dy+2adx=03y2dy-3dy=-2adx例2-58在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。（1）d()=xdx;（2）d()=cos?tdt。解（1）因为d(x2)=2dx，所以显然，对任何常数C都有（2）因为，所以，即，或对任何常数C都有基本初等函数的微分公式函数和、差、积、商的微分法则四、微分的应用在f?(x0)≠0的条件下，dy是?y的线性主部，当|?x|很小时，有近似计算公式：?y≈dy=f?(x0)·?x将?y=f(x0+?x)-f(x0)代入上式，可得：