专题14 三角函数中参数的求解策略13种常见考法归类（解析版）_1.docxVIP

专题14三角函数中参数的求解策略13种常见考法归类

考点一利用三角函数的值域求参数

考点二利用三角函数的周期性求参数

考点三利用三角函数的单调性求参数

考点四利用三角函数的最值求参数

考点五利用三角函数的单调+最值求参数

考点六利用三角函数的奇偶性求参数

考点七利用三角函数的对称性求参数

考点八利用三角函数的对称+周期求参数

考点九利用三角函数的对称+单调求参数

考点十利用三角函数的对称+最值求参数

考点十一利用三角函数的图象求参数

考点十二利用三角函数的零点求参数

考点十三利用三角函数的多种性质求参数

各级各类模拟试题中经常出现一类求函数的参数的取值范围问题，主要考查三角函数知识的应用，以及考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.此类问题对许多学生是一难点，学生往往无从入手，或者因不明算理而陷入繁琐的运算当中，花费大量时间却不得正解．本专题通过归类解析的形式说明这类问题的解法，以期帮助学生理解、掌握其内在规律、特点.

一.基础知识

1.正弦函数y=sin?x

(1)定义域:R.

(2)值域:sin?

(3)周期性：周期函数，周期是2kπ,(k∈Z且

(4)奇偶性:奇函数,其图象关于原点对称.

(5)单调性:增区间:-

减区间:π

对称性:对称轴:x=π2+

2.正弦型函数y=A

(1)定义域:R.

(2)值域:[-

(3)周期性：周期函数，周期是T=

(4)奇偶性:当φ=kπ,k∈Z

(5)单调性:当ω0时:令-π2

令π2+2kπ

当ω0时:注意单调区间的转化

(6)对称性:对称轴:令ωx+φ=kπ+

对称中心:令ωx+φ=

余弦型类似推导,此处不再赘述.可以看到,处理复合型函数性质的妙招就在于换元,令t=ωx+φ,

3.一些复杂的性质

(1)零点与对称轴之间的距离等于四分之一个周期的奇数倍;

(2)对称轴方程就是一条对称轴加半个周期的整数倍;

(3)若f(x)在区间[a,b]上单调,则必要条件是:区间长度不超过半个周期

综上可得b

(4)对称轴公式:①f

(5)中心对称公式①f

(6)最值表示:?

二.解题策略

1、与三角函数单调性有关的参数问题

含参数的正弦型函数，若已知其在某区间上的单调性，求参数的取值范围时，一般先求出单调区间的一般形式，再根据包含关系可求参数的取值范围.

注：一般来说,若已知函数f(x)=sin?(ωx+φ)在某个区间上的单调性,并且φ已知,则可以把

2、与三角函数的最值有关的参数问题

不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

②数形结合(图像在上方即可)；

③讨论最值或恒成立.

3、与对称性有关的参数问题

一般来说,若函数f(x)=sin?(ωx+φ)在某个区间上单调,并且给出了对称轴方程,则可先利用“该区间长度小于或等于半周期长度”大致确定ω的范围,再利用对称轴是否在该区间内进一步约束ω的范围,最后对剩下的

4、与三角函数的零点有关的参数问题

已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

注：一般来说,已知函数f(x)=sin?(ωx+φ)在某个区间上有k个零点、最值等,可将

三、错解剖析

（1）错看函数零点

例1：若f(x)=sin?ωx+π5(ω0),已知f

错解:当x∈[0,2π]时,πx+π5∈π5,2πω+π5,

错解剖析:画图不完整,考虑不周全.如图可得,求解中只从字面上考虑了动区间2πω+π5的下界5π,要想有且只有5个零点,还需考虑上界6π,

（2）忽略单调检验

例2：已知函数f(x)=sin?(ωx+φ)ω0,|φ|?π2,x=-π4为f(x)的零点,x

错解:依题意,当x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,则2n+14?T=π2,即2n+14?2πω=π

错解剖析:忘记检验条件,忽略单调性.事实上,当ω=11时,-11π4+φ=kπ,k∈Z,由|φ|?π2,则φ=-π4,此时11x-π4∈π18,5π36,故f(x)

（3）误求对称中心(轴)

例3：若函数f(x)=sin?(ωx+φ)ω

错解:由f(0)+fπ2=0得,f(x)图象关于点π4,0对称,又f(x)图象关于点π12,0对称

错解剖析:想当然,考虑欠佳,事实上，由f(0)+fπ2=0,未必f

示,点π4,0就不是f

正确解答:由f(x)图象关于点π12,0对称,则π12ω+φ=kπ,k∈Z,(1)由f(0)+fπ2=0,得sinφ+sinπ2ω+φ=0(2),由