2025年二次函数核心知识点梳理与经典题型解析.docx

二次函数知识点总結和題型总結

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函

数，叫做二次函数。

这里需要强调：①a≠0②最高次数為2③代数式一定是整式

2.二次函数的构造特性：

⑴等号左边是函数，右边是有关自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

例題：

例1、已知函数y=(m－1)xm2+1+5x－3是二次函数，求m的值。

练习、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是有关x的二次函数，则m的取值范围

為。

二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：的性质：

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

時，随的增大而增大；時，随的增大而减小；時，有最小值．

向下

轴

時，随的增大而减小；時，随的增大而增大；時，有最大值．

的性质：

上加下减。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

時，随的增大而增大；時，随的增大而减小；時，有最小值．

向下

轴

時，随的增大而减小；時，随的增大而增大；時，有最大值．

3.的性质：

左加右减。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

X=h

時，随的增大而增大；時，随的增大而减小；時，有最小值．

向下

X=h

時，随的增大而减小；時，随的增大而增大；時，有最大值．

4.的性质：

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

X=h

時，随的增大而增大；時，随的增大而减小；時，有最小值．

向下

X=h

時，随的增大而减小；時，随的增大而增大；時，有最大值．

二次函数的对称轴、顶点、最值

（技法：假如解析式為顶点式y=a(x－h)2+k，则最值為k；假如解析式為一般式y=ax2+bx+c则最值為EQ\F(4ac-b2,4a)）

1．抛物线y=2x2+4x+m2－m通过坐标原点，则m的值為。

2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标為（1，3），则b＝，c＝.

3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4．若抛物线y＝ax2－6x通过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离為()

A. B. C.D.

5．若直线y＝ax＋b不通过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c()

A.开口向上，对称轴是y轴B.开口向下，对称轴是y轴

C.开口向下，对称轴平行于y轴D.开口向上，对称轴平行于y轴

已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值為0，则m＝。

三、二次函数图象的平移

1.平移环节：

措施一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，详细平移措施如下：

2.平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

措施二：

⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成

（或）

⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

函数y=ax2+bx+c的图象和性质例題：

1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是。

2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是，顶点坐标是。

3．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）y=EQ\F(1,2)x2－2x+1；（2）y=－3x2+8x－2；（3）y=－EQ\F(1,4)x2+x－4

4、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得

图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。

5、把抛物线y=－2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，

问所得的抛物线有无最大值，若有，求出该最大值；若没有，阐明理由。

四、二次函数与的比较

从解析式上看，与是两种不一样的体現形式，后者通过配方可以得到前者，既，其中．

五、二次函数图象的画法

五点绘图法：运用配措施将二次函数化為顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我們选用的五点為：顶点、与轴的交点、以及有关对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组有关对称轴对称的点）.

画草图時应抓住如下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

六、二次函数的性质

1.当時，抛物