线性代数习题-5.pptVIP

*上午8：30～11：00考试时间：2014年1月16日，01A209,A211,A212,A213,考试地点：东九楼A107,A203,02科技楼南602#考试答疑：1月日，上午下午03线性代数课程考试信息习题-56矩阵相似二次型定义：使AX=?X的非零向量X.线性方程组(?I-A)X=0的非零解.特征向量的求法:特征值的求法：定义：?数?和向量X?0，AX=?X.求特征多项式??I?A?=0的根已知矩阵A的特征值?,则矩阵多项式g(A)的特征值为g(?).如果A满足条件g(A)=0,则A的特征值满足条件g(?)=0.第5章学习要点：第5章学习要点：矩阵的相似关系矩阵的相似不变性:A?B(P-1AP=B),则有r(A)=r(B)?A?=?B???I-A?=??I-B?…矩阵相似对角矩阵的充要条件n阶方阵有n个线性无关的特征向量矩阵的t重特征值有t个线性无关的特征向量n?r(?iI?A)=t矩阵相似于对角矩阵的求法n阶方阵V.S.n阶实对称矩阵01?n阶方阵的特征值有可能为复数.02?n阶实对称矩阵的特征值是实数.03?n阶方阵对于不同特征值的特征向量线性无关.04?n阶实对称矩阵对于不同特征值的特征向量正交.05?n阶方阵不一定相似于对角矩阵.06?n阶实对称矩阵一定相似而且可以正交相似于对角矩阵.07第5章学习要点：合同的定义合同的不变性:秩,对称性,惯性指数,正定性矩阵合同的充要条件是惯性指数相同.实对称矩阵的合同关系:二次型的矩阵表示n个变元二次型的矩阵是n阶实对称矩阵.二次型的秩被定义为矩阵的秩.二次型化为标准形的问题等价于是对称矩阵合同于对角矩阵的问题矩阵的特征值可导出矩阵的惯性指数二次型正定当且仅当矩阵是正定矩阵.第6章学习要点：二次型化为标准型的方法只能将二次型化为标准形,标准形由矩阵的特征值确定.可将二次型化为标准形,标准形不唯一.图形的形状会改变.图形的形状不改变.可将二次型化为规范形,规范形是唯一的.正交变换法行列对称初等变换法:第6章学习要点：n元二次型f=XTAX正定的充要条件二次型的正惯性指数为n矩阵的特征值全部大于零.矩阵A的顺序主子式全部大于零.矩阵A合同于单位矩阵:PTAP=I存在一个正定矩阵B,使得A=B2.存在可逆矩阵C,使得A=CTC.二次型的正定性第6章学习要点：设?是矩阵A的特征值，则线性方程组(?2I–A2)X=0有非零解.如果A~B，则A和B相似于同一个对角矩阵D.若对称矩阵A和B的特征值相同，则A~B.矩阵A的对应于非零特征值的特征向量是矩阵A的列向量的线性组合.设矩阵A?0，存在正整数k，使得Ak=0，则矩阵A不可相似对角化。设矩阵的特征多项式p(?)=?n+1,则A是可逆矩阵。判断题判断题f=(x1?3x2+4x3+5x4?2x5)2是二次型.如果对称矩阵A的主对角线元素a220，则A不是正定矩阵.A是对称矩阵的充要条件是A正交相似与对角形.对称矩阵A和B合同的充要条件是它们的特征值相同.惯性指数相同.对于二次形的标准形相同5如果?1t0，则A=是正定矩阵.6如果xTAx是正定二次型,则xTA-1x也是.7.如果对称矩阵A的行列式det(A)0,则A正定.填空题与选择题设矩阵A的特征多项式p(?)=(??1)(??3)(??4)3，则矩阵A为阶矩阵；|A|=。设矩阵A=(aij)的特征值是?1，?2，…，?n，则的值等于（1）（2）（3）（4）填空题与选择题3设矩阵P–1AP=B，又A的关于特征值的特征向量为X，则B的关于特征值的特征向量是：（1）X，（2）PX，（3）P–1X，（4）PTX4设矩阵A满足条件|4I+A|=0，|A|=–1，则伴随矩阵（3A）*的特征值是.设，又则P–1AP=B，则（2B–1+I）的特征值是.6二次形f（x