高考数学人教A版理科第一轮复习题高考大题专项练一.docx

高考大题专项练一高考中的函数与导数

1.(2017北京,理19)已知函数f(x)=excosxx.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)求函数f(x)在区间0,π

2.已知函数f(x)=emxlnx2.

(1)若m=1,证明:存在唯一实数t∈12,1,使得f(t

(2)求证:存在0m1,使得f(x)0.

3.设函数f(x)=αcos2x+(α1)(cosx+1),其中α0,记|f(x)|的最大值为A.

(1)求f(x);

(2)求A;

(3)证明|f(x)|≤2A.

4.(2017全国Ⅱ,理21)已知函数f(x)=ax2axxlnx,且f(x)≥0.

(1)求a;

(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e2f(x0)22.

5.已知函数f(x)=xetxex+1,其中t∈R,e是自然对数的底数.

(1)若方程f(x)=1无实数根,求实数t的取值范围;

(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)内为减函数,求实数t的取值范围.

6.已知f(x)=axlnx,x∈(0,e],g(x)=lnxx,其中e是自然对数的底数,a∈

(1)讨论当a=1时,函数f(x)的单调性和极值;

(2)求证:在(1)的条件下,f(x)g(x)+12

(3)是否存在正实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

7.已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a≠1,b≠1).

(1)设a=2,b=12

①求方程f(x)=2的根;

②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)6恒成立,求实数m的最大值;

(2)若0a1,b1,函数g(x)=f(x)2有且只有1个零点,求ab的值.

8.(2017天津,理20)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x33x26x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.

(1)求g(x)的单调区间;

(2)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(mx0)f(m),求证:h(m)h(x0)0;

(3)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且pq∈[1,x0)∪(x0,2],满足p

答案：

1.解(1)因为f(x)=excosxx,所以f(x)=ex(cosxsinx)1,f(0)=0.

又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.

(2)设h(x)=ex(cosxsinx)1,则h(x)=ex(cosxsinxsinxcosx)=2exsinx.

当x∈0,π2时,h(x)0,所以h(x)在区间

所以对任意x∈0,π2有h(x)h

即f(x)0.

所以函数f(x)在区间0,π

因此f(x)在区间0,π2上的最大值为f(0)=1,最小值为fπ

2.证明(1)当m=1时,f(x)=exlnx2,f(x)=ex1x,x0

显然f(x)在(0,+∞)内单调递增且图象是连续的,又f120,f(1)0,故存在唯一实数t∈12,1,使得f(t

(2)f(x)=memx1x=me

由0m1,得f(x)在(0,+∞)内单调递增,由(1)得mx0=t时,f(x0)=0,

所以f(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调递增,

即f(x)的最小值为f(x0)=ftm=etlnt+lnm

因为et1t=

所以et=1t,t=lnt

于是f(x0)=ftm=1t+t+

所以当lnm21t+t时,f(x0)

取k=21t+t0,故m∈(ek,1)时成立,因此,存在0m1,使得f(x)

3.(1)解f(x)=2αsin2x(α1)sinx.

(2)解(分类讨论)当α≥1时,

|f(x)|=|αcos2x+(α1)(cosx+1)|

≤α+2(α1)=3α2=f(0).

因此A=3α2.

当0α1时,将f(x)变形为

f(x)=2αcos2x+(α1)cosx1.

(构造函数)

令g(t)=2αt2+(α1)t1,则A是|g(t)|在[1,1]上的最大值,

g(1)=α,g(1)=3α2,且当t=1-α4α时,g(t)取得极小值,极小值为g1-α

令11-α4α1,解得α13(舍去

(ⅰ)当0α≤15时,g(t)在(1,1)内无极值点

|g(1)|=α,|g(1)|=23α,|g(1)||g(1)|,

所以A=23α.

(ⅱ)当15α1时,由g(1)g(1)=2(1α)

知g(1)g(1)g1-

又g1-α4

=(1-

所以A=g1

综上,A=2

(3)证明由(1),得|f(x)|=|2αsin2x(α1)sinx|≤2α+|α1|.

当0α≤15时,|f(x)|≤1+α≤24α2(23α)=2A

当15α