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数列（新定义）压轴强化训练【27道】
1．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列an的前n项和Sn=n2+n，数列bn是各项均为正数的等比数列，
b+b=8b+b，且b=2.
78451
(1)求an和bn的通项公式；
ì4
ï,n奇数
ïaa25
(2)设c=ínn+2，数列c的前n项和为T，证明：T.
nnn2n
a18
ïn,n偶数
ï2b
în
【答案】(1)a=2n，b=2n
nn
(2)证明见解析
【分析】（1）根据an与Sn的关系求an的通项公式，由等比数列基本量的运算即可求解{}的通项公式；
（2）用裂项相消法求奇数项的和，由错位相减法求偶数项的和，即可求解.
【详解】（1）数列an的前n项和Sn=n2+n，当n=1时，a1=S1=2，
当n³2时，a=S-S=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n，
nnn-1
因为a1=2也适合上式，
所以a=2n，
n
设数列的公比为q，因为b+b=8b+b，
{}7845
b+b3
所以78=q=8，解得q=2，
b+b
45
又b=2，所以b=2n；
1n
ì1
ïnn+2,n奇数
ï
（2）由题意得cn=í，
ïn
,n偶数
ï2n
î
设数列c2n的奇数项之和为An，偶数项之和为Bn，
111
则A=++×××+
n1´33´5(2n-1)(2n+1)
1æ11111ö
=ç1-+-+×××+-÷
2è3352n-12n+1ø
111
=-，
24n+22
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