专题04 周期性与对称性及应用12种常见考法归类（解析版）_1.docxVIP

专题04周期性与对称性及应用12种常见考法归类

考点一应用周期性求值

考点二应用周期性求解析式

考点三单个函数的周期性迭代

考点四两个函数的周期性迭代

考点五类周期函数

考点六周期性与零点问题

考点七判断或证明函数的对称性

考点八由对称性求函数的解析式

考点九由函数对称性求函数值或参数

考点十由对称性研究单调性

考点十一函数对称性的应用

考点十二函数性质的综合

一、函数的周期性

函数的周期性

(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．（注：若是函数的一个周期，则(且)也是函数的周期；）

(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．

2.函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。

周期函数f(x)满足的条件

周期

f(x＋a)＝f(x－a)

2a

f(x＋a)＝－f(x)

2a

f(x＋a)＝－eq\f(1,f?x?)

2a

f(x＋a)＝eq\f(1,f?x?)

2a

关于直线x＝a与x＝b对称

2|b－a|

偶函数，关于直线x＝a对称

2a

关于点(a,0)与点(b,0)对称

2|b－a|

奇函数，关于对称

关于直线x＝a与点(b,0)对称

4|b－a|

奇函数，关于直线x＝a对称

4a

4a

3.周期性的应用

（1）函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.

（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.

（3）单调性：由于间隔kT(k∈Z)的函数图象相同，所以若函数y=f(x)在(a,b)(b-a≤T)上单调增(减),则y=f(x)在(a+kT,b+kT)(k∈Z)上单调增(减).

注：

奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。

二、函数的对称性

1、函数自身的对称性

(1)函数的图像关于点对称的充要条件是：

，即。

推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。

(2)函数的图像关于直线对称的充要条件是：

，即。

推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。

2、不同函数对称性

(1)函数与的图像关于直线成轴对称。

推论1:函数与图象关于直线对称

推论2:函数与图象关于直线对称

推论3:函数与图象关于直线对称

(2)互为反函数的两个函数关于直线对称。

三、内同表示周期性，内反表示对称性

若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

考点一应用周期性求值

1．（2023上·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则．

【答案】

【分析】先由条件推得，再依次转化得到，从而得解.

【详解】因为，所以，

又当时，，

所以.

故答案为：.

2．（2023上·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）若偶函数对任意都有，且当时，，则．

【答案】/0.125

【分析】由题设可得偶函数的周期为6，利用周期性求函数值即可.

【详解】由题设，即偶函数的周期为6，

所以.

故答案为：

3．（2023上·云南昆明·高一校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则.

【答案】0

【分析】先求出当时，，然后结合函数奇偶性变形，再利用时的解析式计算即可.

【详解】当时，，又函数是定义在上的偶函数

所以

.

故答案为：0.

4．（2023·山东日照·校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出函数的周期，再结合函数的奇偶性求值即得.

【详解】定义在上的奇函数，由，得，

则函数是以4为周期的周期函数，又当时，，

所以.

故选：D

5．（2023上·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）

A．0 B． C． D．3

【答案】A

【分析】根据在上的奇函数，且，得到的周期为4求解.

【详解】解：因为在上的奇函数，且，

所以，即，

所以，则的周期为，

所以，

故选：A

6．（2023上·广西梧州·高一校考期末）已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合函数的奇偶性和周期性，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

【详解】因为，

所以，

所以是周期