《弹性力学》模拟试卷及答案 一.docx

弹性力学模拟试卷一

一、简述题（每小题10分，共40分）

1、请简述弹性力学采用的基本假定。

答：弹性力学主要采用以下假定：

（1）连续性：即整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在空隙。

（2）均匀性：即弹性体是由相同或相似性质的材料组成；各个部分的结构或组成成分不随坐标位置的变化而改变。

（3）各向同性：弹性体在同一点处的性质与考察方向无关。

（4）小变形：物体在外力或其他作用下，物体产生的变形与其本身尺寸相比可以忽略不计。

（5）线弹性：弹性体的变形与载荷之间存在着一一对应的线性关系。

（6）无初始应力：物体处于自然状态，即力和温度等外界因素作用之前，物体内部是没有应力的。

2、弹性力学问题要求在物体的每个边界点都给定边界条件，而实际工程却往往只知道总的荷载值。在求解弹性力学问题时需要合理简化边界条件，这时往往需要借助圣维南原理，请简述圣维南原理内容。

答：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。

3、简述逆解法和半逆解法的主要思路。

答：（1）逆解法：选取一组位移或应力的函数，由此求出应变与应力。然后，验证是否满足基本方程。

（2）半逆解法：根据问题特点，假设部分应力或位移已知，然后再基本方程和边界条件中，求另一部分。

4、简述应力函数概念，并说明应力函数分别取一次式、二次式和三次式时所解决的弹性力学问题。

答：在弹性力学问题应力解法中，可引进某些函数，使得平衡方程自动满足，而把问题归结为求解用这些函数表示的协调方程。这些能自动满足平衡方程的函数称为应力函数。

应力函数为一次式时，对应于无应力状态；

应力函数为二次式时，可解决矩形板受均布拉力、压力或剪力的问题；

应力函数为三次式时，可解决矩形梁纯弯曲的问题。

二、推导题（每小题15分，共30分）

弹性力学问题可采用位移法和应力法进行求解。一般情况下，在位移法中，15个基本方程化简为3个以位移分量表示的微分方程，从而问题可以通过积分3个微分方程，并利用边界条件进行求解；而应力法则可通过积分6个以应力分量表示的协调方程，并利用边界条件进行求解。试推导：

（1）位移法求解空间问题的微分方程；

（2）应力法求解平面应力问题的微分方程。

答：位移法求解空间问题的微分方程推导如下：

本构方程

,,，

,,

将几何方程代入本构方程

,,

,,

（3）将（2）中式子代入平衡方程，以x方向的平衡方程式为例，可得：

（4）引入拉普拉斯算子，化简可得：

同理可得y、z方向方程式：

，

应力法求解平面应力问题的微分方程推导如下：

（1）平面应力问题中基本方程如下：

平衡方程：，

本构方程：，，

协调方程：

（2）将本构方程代入协调方程，可得：

（3）由平衡方程可得：

代入协调方程，可得：

三、计算题（15+15=30分）

1、已知某点的应力张量：

试求：（1）主应力；（2）最大切应力。（15分）

答：由应力张量可知：

由特征方程，可得：

，则：

2、如下图，悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，且。试用应力函数求解应力分量。（15分）

答：由应力函数可得各应力分量：

，，

在边界上，，，因此，

在边界上，

故，