高考备考资料之数学人教A版全国用讲义高考专题突破三高考中的数列问题.docx

高考专题突破三高考中的数列问题

【考点自测】

1．(2017·洛阳模拟)已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则eq\f(a1＋a5＋a9,a2＋a3)等于()

A．2B．3C．5D．7

答案B

解析∵在等差数列{an}中，a2，a4，a8成等比数列，∴aeq\o\al(2,4)＝a2a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴d2＝a1d，

∵d≠0，∴d＝a1，∴eq\f(a1＋a5＋a9,a2＋a3)＝eq\f(15a1,5a1)＝3.故选B.

2．(2018·衡水调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前100项和为()

A.eq\f(100,101) B.eq\f(99,101)

C.eq\f(99,100) D.eq\f(101,100)

答案A

解析设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

∵a5＝5，S5＝15，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝5，,5a1＋\f(5×?5－1?,2)d＝15，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝1，))

∴an＝a1＋(n－1)d＝n.

∴eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,n?n＋1?)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，

∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前100项和为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)－\f(1,101)))＝1－eq\f(1,101)＝eq\f(100,101).

3．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()

A．6B．7C．8D．9

答案D

解析由题意知a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有：a，－2，b；b，－2，a.

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝4，,2b＝a－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝4，,2a＝b－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝4.))

∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.

4．(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝3eq\r(3)，b1＋b6＋b11＝7π，则taneq\f(b3＋b9,1－a4·a8)的值是()

A．1 B.eq\f(\r(2),2)

C．－eq\f(\r(2),2) D．－eq\r(3)

答案D

解析{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1·a6·a11＝3eq\r(3)，b1＋b6＋b11＝7π，∴aeq\o\al(3,6)＝(eq\r(3))3,3b6＝7π，∴a6＝eq\r(3)，b6＝eq\f(7π,3)，

∴taneq\f(b3＋b9,1－a4·a8)＝taneq\f(2b6,1－a\o\al(2,6))＝taneq\f(2×\f(7π,3),1－?\r(3)?2)

＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π－\f(π,3)))＝－taneq\f(π,3)＝－eq\r(3).

5．(2018·保定模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝eq\f(2,3)an－eq\f(1,3)，若1Sk9(k∈N*)，则k的值为________．

答案4

解析由题意，Sn＝eq\f(2,3)an－eq\f(1,3)，

当n≥2时，Sn－1＝eq\f(2,3)an－1－eq\f(1,3)，

两式相减，得an