上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高三下学期摸底考试（3月）数学试题.docxVIP

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上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高三下学期摸底考试（3月）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合，则.

2．不等式的解集是．

3．等差数列中，若，则公差．

4．直线的倾斜角是（结果用反三角表示）．

5．将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的旋转体的体积为．

6．的二项展开式中，的系数是.(用数字作答)

7．若，则．

8．已知，若，则的最大值为．

9．若的内角满足，则的最大值是．

10．如图，一个区域分为5块，现给每块着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．

??

11．研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离反应距离+制动距离．其中反应距离与汽车行驶速度成正比，比例系数为；制动距离与汽车行驶速度的平方成正比，比例系数为．下表是通过试验观测得到的、、的对应关系：

56

11.9

0.213

16.0

0.00510

64

13.4

0.209

21.9

0.00535

72

15.2

0.211

28.2

0.00544

80

16.7

0.209

36.0

0.00563

89

18.6

0.209

45.3

0.00572

97

20.1

0.207

55.5

0.00590

105

21.9

0.209

67.2

0.00610

用表中比例系数与的平均数作为参数、的估计值．那么根据上表数据，估计时，刹车距离约为．（结果精确到0.1）

12．已知复平面上的点对应的复数z满足：存在模长为1的复数a，使得．那么所有满足条件的点组成的图形的面积为．

二、单选题

13．设,则“”是“”的（????）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

14．若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（???）

A． B． C． D．

15．下列函数中，在区间上是严格减函数的为（????）

A． B． C． D．

16．设，记．则（???）

A． B． C． D．

三、解答题

17．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，．

??

(1)求证：平面PBC；

(2)求二面角的正弦值．

18．设函数．

（Ⅰ）求的最小正周期．

（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．

19．机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目.某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其中、、、四人进入区内个人组决赛，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立.下表统计的是在近期热身中分别与、、三人比赛的情况.

比赛的次数

12

10

15

获胜的次数

4

5

12

(1)根据表格中的数据，试估计在区内决赛中至少获胜一场的概率；

(2)根据表格中的数据，请给、、三人设计一个出场顺序，使得在这三场比赛中连胜两场的概率最大，并说明理由.

20．已知抛物线，动直线l经过定点且与抛物线交于A、B两点．

(1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程；

(2)时，求线段的长度的最小值；

(3)若抛物线上存在一定点D，使得以为直径的圆恒过点D，求a、b满足的关系式．

21．已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合．

(1)若，求集合；

(2)若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围；

(3)若函数的图像是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是函数在点处的切线”的充要条件．

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《上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高三下学期摸底考试（3月）数学试题》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

C

A

B

B

1．

【解析】直接根据并集定义得到答案.

【详解】集合，则.

故答案为：.

【点睛】本题考查了并集计算，属于简单题.

2．

【分析】讨论的范围去绝对值符号，得到不同范围下的解析式，分别进行求解，最后取并集即可得解.

【详解】当时，；

时，；

时，；

当时，，无