弹性力学 课件 第8、9章 空间问题及其解答；等截面直杆的扭转.pptx

弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12

空间问题及其解答Spaceproblemsandtheirsolutions直角坐标系下的弹性力学问题01柱坐标系下的弹性力学问题02球坐标系下的弹性力学问题03空间问题的位移势函数的引用04勒夫位移函数05伽辽金位移函数06半空间体表面受法向分布载荷问题07两球体之间的接触压力08空间问题的应力求解法09

直角坐标系下的弹性力学问题01Elasticmechanicsproblemsincartesiancoordinatesystem

——6个应力分量；空间问题基本方程空间问题的基本未知量：——6个应力分量；——6个形变分量；——3个位移分量；（1）平衡微分方程

——6个应力分量；空间问题基本方程（2）几何方程（3）物理方程

——6个应力分量；位移法求解空间问题1.写出物理方程，用应变分量代替应力分量其中为第一应变不变量，或称其为体积应变。2.将空间问题几何方程代入上式，得

——6个应力分量；位移法求解空间问题3.此时再将上式代入平衡方程,得上式中，只含有三个位移分量，共三个方程，理论上在边界条件的限定下，就可以得到问题的唯一解。

——6个应力分量；例题1设有一无限大厚弹性板放置在一刚性平面上，如图所示，板厚度为，弹性体密度为，上表面受大小为的均布载荷，试求该弹性体的弹性力学解。分析体力，由于本题中体力由重力产生，得解:由于弹性体在无限大范围内受均布载荷作用，因此任一竖直平面都可以是该问题的对称面，因此按位移写出的平衡方程，得

——6个应力分量；例题1将体力、位移代入按位移写出的平衡方程中，有积分，得其中，A和B为任意常数。将位移分量代入应力分量的表达式

——6个应力分量；例题1边界条件求解上表面边界条件将A、B的解代回位移分量和应力分量的表达式，得位移分量为上表面：下表面：将其代入下表面边界条件,得

——6个应力分量；例题1应力分量为最大位移发生在弹性体的上表面此外，垂直截面上的应力?和?与水平平面上的应力?之比是一个完全由泊松比?决定的常数这在土力学中被称为侧压力系数。

柱坐标系下的弹性力学问题02Elasticmechanicsproblemsincylindricalcoordinatesystem

柱坐标系01柱坐标是在极坐标的基础上发展起来的，相当于将极坐标面向方向拓展，在极坐标里确定一点的位置坐标为，在柱坐标里则为如图所示。常见空间轴对称结构02长征五号运载火箭圆柱形压力容器椭球形压力容器xyzOρ?z

空间轴对称弹性力学问题，除了要求弹性体几何上轴对称，还必须要求其所受的载荷和约束也是轴对称的。如图所示，混凝土浇筑管道，在管道外表面3600受相同的位移约束，满足轴对称，当管道内受均匀内压时，其载荷也关于对称轴对称，此时，求解管道的应力、应变，就可简化为轴对称问题。混凝土浇筑管道浇筑管道截面示意图空间轴对称弹性力学问题

对于空间轴对称问题，因为弹性体的几何结构、载荷、约束均为轴对称，其变形也必然为轴对称。轴对称问题的位移分析如图所示，设P和是关于y轴对称的点，则设P点有图示方向环向位移时，点的环向位移方向应为图中虚线所示。但空间轴对称还是绕轴对称，即绕z轴旋转任意角度后，满足空间轴对称的量将完全重合，将P点绕z轴旋转至，显然根据绕轴对称，点的环向位移应为图中实线所示。这一矛盾说明环向位移只能为0，即。此外，由于轴对称，和w也与无关，它们只是的函数。

轴对称问题下的几何方程（1）只有径向（方向）位移时xyzOPABC参考图中所示的构型P-ABC，设PB变形前长，变形后长（设径向位移量为）,因此设P点位移?，则A点位移因此

轴对称问题下的几何方程xyzOPABC设P点位移，则C点位移因此PC长度为从P点到A点,由于只有径向位移，PA不发生偏转。从P点到B点，只是坐标增加因此PB也不发生偏转。因此由于P点和