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常系数线性齐次微分方程组的解法及其应用研究

目录

TOC\o1-3\h\z\u引言 1

1．常系数线性齐次微分方程组的相关介绍 1

1.1国内外相关研究 1

1.2相关工作 1

1.3相关知识 2

1.3.1线性微分方程组与常系数线性齐次微分方程组的定义 2

1.3.2矩阵指数的定义与性质 3

2．常系数线性齐次微分方程组的解法及其应用 3

2.1解法与应用一——PUTZER法 4

2.2解法与应用二——递推公式法 6

2.3解法与应用三——广义特征向量法 9

2.4解法与应用四——循环公式法 12

2.5解法与应用五——消元法法 14

2.6解法与应用六——矩阵法 15

2.7其他解法与应用 17

3．常系数线性齐次微分方程组在其他领域的应用 19

3.1生物学或医学上的应用 19

3.2工程学上的应用 20

3.3航空航天领域的应用 20

4．总结 20

参考文献 21

引言

自微积分诞生起，常微分方程就开始孕育和发展了。尽管其理论发展已经有几百年了，但目前仍在发展阶段。常系数线性齐次微分方程组作为其中一员，其解法与应用在数学领域和其他领域有着重要作用。随着社会科技的发展与计算机的大量应用，有关常系数线性齐次微分方程组的解法得到大大简化，其应用也得到快速发展。本论文查阅近几十年国内外相关研究经验，总结常系数线性齐次微分方程组的解法及其应用。

1．常系数线性齐次微分方程组的相关介绍

常系数线性齐次微分方程组作为常微分方程中的一员，其解法与应用对数学乃至其他模块有着重要作用。

1.1国内外相关研究

常系数线性齐次微分方程组作为线性微分方程组里的重要一员，在数学领域及其他领域极其重要。常微分方程伴随微积分的诞生而诞生，广泛应用各个领域，形成了系统的理论体系，著作颇多，涉及数学，天文学，工学，物理学等领域。

常系数线性齐次微分方程组作为线性微分方程组中的代表，在各个领域都具有很高的研究意义。通过查询网站上的相关资料，国内外近几十年里对于常系数线性齐次微分方程组的解法及其应用发文量多达15篇以上，相关的解法也有10种左右，简化了常系数线性齐次微分方程组解法的计算，大大丰富了其相关理论，使常微分方程理论得到进一步发展。

1.2相关工作

本论文查阅近几十年的相关书籍与期刊，收集大量有关常系数线性齐次微分方程组的相关解法与应用，汇集总结部分解法及其应用。主要有比较系数法，循环公式法，消元法，矩阵法，矩阵指数函数法，递推公式法，广义特征向量法等；并例举各种方法在数学上的应用。同时概括常系数线性齐次微分方程组在其他领域的应用，最后汇集成文，过程如下图。

相关工作过程图

1.3相关知识

线性微分方程组的定义；常系数线性齐次微分方程组的定义；矩阵指数的定义与性质。

1.3.1线性微分方程组与常系数线性齐次微分方程组的定义

设线性微分方程组：

，（1）

①若，则上式称为线性非齐次的；

②若，则方程的形式为：

，（2）

（2）式称为线性齐次的，通常（2）称为对应于（1）的线性齐次微分方程组。REF_Re\r\h[1]

当是阶常数矩阵时，（2）式称为常系数线性齐次微分方程组。REF_Re\r\h[1]

1.3.2矩阵指数的定义与性质

如果是一个阶常数矩阵，则定义矩阵指数为下面级数的和：

，

其中为阶单位矩阵，是矩阵的次幂。REF_Re\r\h[1]

矩阵指数的性质：

①如果矩阵，，是可以交换，即，则

；

②对于任何矩阵，存在，且

；

③如果是非奇异矩阵，则

；

定理：矩阵是的基解矩阵，且。REF_Re\r\h[1]

2．常系数线性齐次微分方程组的解法及其应用

关于常系数线性齐次微分方程组的解法，在大多数常微分方程的教材里都有相关的介绍。它是常微分方程的教学大纲里规定的内容。

设常系数线性齐次微分方程组为：

，

其中是任意阶矩阵。

在一般的常微分方程的教材里，关于常系数线性齐次微分方程组的解法有两种：一种是从矩阵指数函数入手；另一种是从方程组系数矩阵的特征方程入手，解出特征方程对应的特征值与特征向量，然后依据所求特征值的不同重根求其通解。当然，不同的书籍撰写的解法也有不同，随着常微分方程理论的发展开拓出来的解法也不尽相同。

本论文不