2025年自考线性代数经管专业核心考点解析.doc

自考线性代数经管类重点考点

线性代数（经管类）考点逐一击破

第一章行列式

（一）行列式的定义

行列式是指一种由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一种式子，它实质上表达把这些数按一定的规则进行运算，其成果為一种确定的数.

1．二阶行列式

由4个数得到下列式子：称為一种二阶行列式，其运算规则為

2．三阶行列式

由9个数得到下列式子：

称為一种三阶行列式，它怎样进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我們采用递归法，為此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.

3．余子式及代数余子式

设有三阶行列式

对任何一种元素，我們划去它所在的第i行及第j列，剩余的元素按原先次序构成一种二阶行列式，称它為元素的余子式，记成

例如，，

再记，称為元素的代数余子式.

例如，，

那么，三阶行列式定义為

我們把它称為按第一列的展开式，常常简写成

4．n阶行列式

一阶行列式

n阶行列式

其中為元素的代数余子式.

5．特殊行列式

上三角行列式

下三角行列式

对角行列式

（二）行列式的性质

性质1行列式和它的转置行列式相等，既

性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是說，行列式可以按行和列提出公因数.

性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值变化符号.

推论1假如行列式中有某两行（列）相似，则此行列式的值等于零.

推论2假如行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.

性质4行列式可以按行（列）拆开.

性质5把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一种数后来加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍為D.

定理1（行列式展开定理）

n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，既

或

前一式称為D按第i行的展开式，后一式称為D按第j列的展开式.

本定理阐明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.

定理2n阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.既

或

（三）行列式的计算

行列式的计算重要采用如下两种基本措施：

（1）运用行列式性质，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時要注意的是，在互换两行或两列時，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k時，必须在新的行列式前面乘上k.

（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数减少，再求出它的值，一般是运用性质在某一行或某一列中产生诸多种“0”元素，再按这一行或这一列展开：

例1计算行列式

解：观测到第二列第四行的元素為0，并且第二列第一行的元素是，运用这个元素可以把这一列其他两个非零元素化為0，然后按第二列展开.

例2计算行列式

解：措施1这个行列式的元素具有文字，在计算它的值時，切忌用文字作字母，由于文字也許取0值.要注意观测其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均為（我們把它称為行和相似行列式），我們可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再将后三行都减去第一行：

措施2观测到这个行列式每一行元素中有多种b，我們采用“加边法”来计算，既是构造一种与有相似值的五阶行列式：

这样得到一种“箭形”行列式，假如，则原行列式的值為零，故不妨假设，既，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化為零.

例3三阶范德蒙德行列式

（四）克拉默法则

定理1（克拉默法则）设具有n个方程的n元线性方程组為

假如其系数行列式，则方程组必有唯一解：

其中是把D中第j列换成常数项后得到的行列式.

把这个法则应用于齐次线性方程组，则有

定理2设有含n个方程的n元齐次线性方程组

假如其系数行列式，则该方程组只有零解：

换句话說，若齐次线性方程组有非零解，则必有，在教材第二章中，将要证明，n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充足必要条件是系数行列式等于零.

第二章矩阵

（一）矩阵的定义

1．矩阵的概念

由个数排成的一种m行n列的数表

称為一种m行n列矩阵或矩阵

当時，称為n阶矩阵或n阶方阵

元素全為零的矩阵称為零矩阵，用或O表达

2．3个常見的特殊方阵：

①n阶对角矩阵是指形如的矩阵

②n阶单位方阵是指形如的矩阵

③n阶三角矩阵是指形如的矩阵

3．矩阵与行列式的差异

矩阵仅是一种数表，而n阶行列式的最终成果為一种数，因而矩阵与行列式是两个完全不一样的概念，只有一阶方阵是一种数，并且行列式记号“”与矩阵记号“”也不一样，不能用錯.

（二）矩阵的运算

1．矩阵的同型与相等

设有矩阵，，若，，则說A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，既，则称矩阵A与