第一章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试）（原卷版）.docx

第1章空间向量与立体几何（单元重点综合测试）

一、单项选择题：每题5分，共8题，共计40分。

1．已知向量，，，若，，共面，则实数（????）

A． B． C． D．

2．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（????）

A． B．2 C． D．1

3．如图，在平行六面体中，E，F分别在棱和上，且.记，若，则（????）

A． B． C． D．

4．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，AB⊥平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（）

A． B． C． D．

5．已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（????）

A． B． C．1 D．

6．空间内有三点，，，则点P到直线EF的距离为（????）

A． B． C． D．

7．已知正方体的棱长为4，点E是棱的中点，动点P在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（???）

A． B．

C． D．

8．如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：

①三棱锥的体积的最大值为；

②的最小值为；

③点到直线的距离的最小值为．

其中所有正确结论的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、多项选择题：每题5分，共4题，共计20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分。

9．已知向量，则下列结论不正确的是（????）

A． B．

C． D．

10．下列说法错误的是（????）

A．若空间向量，则存在唯一的实数，使得

B．A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面

C．，，与夹角为钝角，则x的取值范围是

D．若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线

11．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（????）

A．直线平面 B．

C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为

12．.如图，在菱形中，，沿对角线将折起，使点，之间的距离为，若分别为直线上的动点，则下列说法正确的是（????）

A．无论P运动到哪，都是锐角

B．线段的最小值为

C．平面平面

D．当分别为线段的中点时，与所成角的余弦值为

三、填空题：每题5分，共4题，共计20分。

13．已知向量为平面α的法向量，点在α内，则点到平面α的距离为.

14．已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为．

15．,为空间直角坐标系中的两个点，，若，则．

16．如图，棱长为3的正方体的顶点在平面内，三条棱,,都在平面的同侧.若顶点,到平面α的距离分别为,，则平面与平面α所成锐二面角的余弦值为

四、综合题：共6题，共计70分。

17．（本题10分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.

（1）试用向量，，表示向量；

（2）若，，，求的值.

18．（本题12分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴?y轴?z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.

(1)若，，求的斜60°坐标；

(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.

①若，求向量的斜60°坐标；

②若，且，求.

19．（本题12分）如图，平面，，，，，.

(1)求证：平面；

(2)求直线CE与平面所成角的正弦值；

(3)若二面角的余弦值为，求线段的长.

20．（本题12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

21．（本题12分）已知三棱柱中，，，，．

(1)求证：平面平面ABC；

(2)若，在线段AC上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

22．（本题12分）已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线，，分别交于点P，，R且，点在直线上，为的中点，且直线平面.

（1）设，，，试用基底表示向量；

（2）证明，四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；

（3）证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上.