2025年大梦杯数学试卷及参考答案.docxVIP

2025年“大梦杯”青少年数学水平测试及答案

测试时间2025年3月9日9:00-11:00满分150分

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)。每道小题均给出了代号为A,?B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.已知A,B,C为反比例函数y=kxk0图象上的三点,D为线段AB的中点,CD⊥AB,若点A,B关于直线

A.8B.12C.16D.36

【答案】C

【解答】因为反比例函数y=kx的图象关于直线y=x对称,且点A,B关于直线

(第1题答题图)

所以点C在直线y=x上,设Ct,t

如图,作等腰直角三角形△ECD和△

因为CD=

所以Dt+1,t

因为点A在反比例函数y=kx

所以t+

解得t=4,于是k=

2.方程3x

A.无实数根B.有且仅有一个实数根

C.有两个不同的实数根D.有三个不同的实数根

【答案】B

【解答】依题意原方程化为3x

所以3x

即3x-

所以3x-2=0,即x=2

因为3x

所以3x2-3x+6+3

因此方程有且仅有一个实数根.选B.

3.满足方程组2×3a+3b=

A.2组B.3组C.4组D.5组

【答案】C

【解答】若a≤b,则3b3c=2×3a+3b≤

于是2×3a+3b=3b+1

若ab,则3a3c=2×3a+3b2×3a+3

综上可知,a=

将a=b=c-1代入a

显然c≠0,于是

因为c,d

所以c=-2d=3,或c=-1d=4

由此可得符合条件的有序整数组(a,b,c,d)为-3,-3,-2,3,-2,-

4.如图,G为△ABC的重心,D,E,F分别为过点G的直线与△ABC的边AB,AC,BC延长线的交点,若CF=12BC

A.1635B.935C.57D.37【答案】A【解答】如图,连接AG并延长交BC于点M.因为直线DGF交△ABM的边AB,AM,BM

(第4题图)(第4题答题图)

同理,由直线GEF交△AMC的边AM,AC,MC的延长线于点G,

因为G为△ABC的重心

所以M为BC中点,且MGGA

又CF=

所以BM=

将上述结论代入①,②,计算得ADDB

所以ADAB

设点E,点C到直线AB的距离分别为dE,dC,

所以ScS△

5.已知a0,b0,mina,

A.3B.4C.3+2

(符号min{a,b,c}表示实数a,b,

【答案】B

【解答】依题意有m≤

因为a

所以m

因此m≤

结合m0,整理得m3+m2-19m-4≤

又a=4,b=1

所以m的最大值为4.选B.

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.若实数x,y满足:x2+5y=6,y2

【答案】-

【解答】依题意有x2

两式相减,得x2-y2+5y-x=0

将y=5-x代入①,

同理y2

于是x,y为关于t的方程t2

因此x+

所以

y

7.如图,圆O的半径为5,两条互相垂直的弦AB与CD相交于点P,若PA=3,PC=

【答案】75

(第7题图)

【解答】如图,作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F

因为AB⊥CD,且

(第7题答题图)

所以AE=

因为圆O的半径为5,

所以AE

因此3+

两式相加,并整理得2d

又因为PB=

PD

所以PB

8.设a是正整数,若关于x的不等式组x2a,x-aa

【答案】15

【解答】题设不等式组化为-

即-

因为a是正整数,

所以不等式组的解为-1

于是不等式组的整数解为0,

因此0+1+2+?+2a-1=a2a-

所以a=

9.已知a为正整数,若关于x的方程x4+a+5x3

【答案】5

【解答】因为x=1

x

x=-2

x

所以x=1,

所以x-1x+2是多项式

由此可得x4

依题意方程x2+a

设x1,x2为方程的两个整数根,

则x1+x2=-a-4,x1

于是x