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2025年高考2025仿真模拟考试理科数学试卷含答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数$f(x)=\ln(x^2+1)$，则$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上是（）

A.递增函数

B.递减函数

C.先增后减函数

D.先减后增函数

答案：A

解析：函数$f(x)=\ln(x^2+1)$的导数为$f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$，当$x0$时，$f(x)0$，因此$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上是递增函数。

2.若$a^2+b^2=1$，则$a^2+ab+b^2$的最小值为（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：A

解析：利用均值不等式，有$a^2+ab+b^2\geq3\sqrt[3]{a^2ab^2}=3|ab|$。由于$a^2+b^2=1$，则$ab\leq0$（因为$a^2+ab+b^2$为奇数项，而$a^2+b^2$为偶数项，所以$ab$必须为负或零以保持和为1）。所以$a^2+ab+b^2\geq1$，等号成立当$a=b$时。

二、填空题（每题5分，共25分）

3.若$f(x)=x^33x+1$，则$f(x)=______。

答案：$3x^23$

解析：$f(x)=(x^33x+1)=3x^23$。

4.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=n^2+n$，则其通项公式$a_n=$______。

答案：$2n1$

解析：等差数列的前$n$项和$S_n=n^2+n$，所以$a_1=S_1=2$。对于$n\geq2$，$a_n=S_nS_{n1}=(n^2+n)[(n1)^2+(n1)]=2n1$。

三、判断题（每题5分，共25分）

5.若$a0$，则函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$在实数范围内是增函数。（错误）

解析：函数的增减性不仅取决于$a$的符号，还需要考虑导数$f(x)=3ax^2+2bx+c$的符号。

6.若直线$l$：$2x+3y6=0$与圆$x^2+y^2=1$相交，则圆心到直线$l$的距离小于1。（正确）

解析：圆心到直线$l$的距离为$\frac{|2\cdot0+3\cdot06|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{6}{\sqrt{13}}1$，因此命题正确。

四、解答题（每题10分，共40分）

7.设函数$f(x)=x^36x+9$，求$f(x)$的单调区间。

答案：

解：求导得$f(x)=3x^26$。令$f(x)=0$，解得$x=\sqrt{2}$或$x=\sqrt{2}$。因此，$f(x)$在$(\infty,\sqrt{2}]$和$[\sqrt{2},+\infty)$上递增，在$[\sqrt{2},\sqrt{2}]$上递减。

解析：通过求导数来确定函数的增减性，找到导数为零的点，将实数轴分为几个区间，分别判断导数的符号。

8.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+a_{n1}$，求证数列$\{a_n\}$是等差数列。

答案：

证明：由递推关系$a_{n+1}=2a_n+a_{n1}$，可得$a_{n+1}a_n=a_na_{n1}$。因为$a_2=2a_1+a_0=3$（假设$a_0=0$），所以$a_2a_1=2$。因此，数列$\{a_n\}$的相邻项之差为常数2，即$\{a_n\}$是等差数列，公差为2。

解析：通过递推关系，可以找到相邻项之差，如果这个差是常数，那么数列就是等差数列。