专题2.9 直线和圆的方程专题中的5个重难点题型（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

专题2.9直线和圆的方程专题中的5个重难点题型

TOC\o1-3\t正文,1\h

【考点1：圆的弦长问题】 1

【考点2：与圆有关的轨迹问题】 4

【考点3：与圆有关的最值问题】 6

【考点4：与圆有关的定点问题】 8

【考点5：与圆有关的定值问题】 11

【考点1：圆的弦长问题】

求直线与圆相交时弦长的方法：

(1)几何法：如图1，直线与圆交于两点，设弦心距为，圆的半径为，弦长为，则有，即.

(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是，则

或，其中为直线的斜率.

1．（2023·全国·高三专题练习）若直线过点P（4，1）且被圆x

2．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设直线x-my-1=0与圆x-12+y-3

3．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知圆O:x2+y2=49，直线l过点N2,6，且交圆O于P，Q

4．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知过坐标原点的直线l与圆C:(x-6)2+(y

A．12 B．13 C．25 D．26

5．（2023秋·高二课时练习）已知直线l与直线4x-3y+18=0垂直，且它被圆x

6．（2023秋·全国·高二期中）已知圆C:

(1)过点P3,5作圆C的切线l，求l

(2)若直线AB方程为3x+y-8=0与圆C

7．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）圆C：x2+y2-2x-8＝0内有一点P2,2

(1)当弦AB最长时，求直线l的方程；

(2)当直线l被圆C截得的弦长为42时，求l的方程

8．（2023秋·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）圆O:x2+y2=4内有一点P0

(1)当弦AB被P0平分时，求直线AB

(2)若圆O与圆C:(x+1)2+(

9．（2023秋·高二课时练习）如图，已知圆心坐标为M3,1的圆M与x轴及直线y=3x均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M，x轴及直线y

??

(1)求圆M和圆N的方程；

(2)过B点作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．

【考点2：与圆有关的轨迹问题】

用定义法求圆的轨迹方程：直接根据圆的定义求解；

（2）用待定系数法求圆的轨迹方程：设圆的标准方程为；

（3）相关点法确定圆的轨迹：

①双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深难求.

②建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式.

③消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程.

1．（2023秋·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）两定点A，B的距离为3，动点M满足MA=2MB，则M点的轨迹长为（

A．4π B．23π C．2

2．（2023秋·高二课时练习）已知动直线kx-y+1=0（其中k∈R且k为变动参数）和圆x2+

3．（2023·全国·高一专题练习）已知点P(x,

(1)求点P的轨迹方程；

(2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由．

4．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为1,1，动点P满足PA

(1)求动点P的轨迹C的方程

(2)若直线l过点Q1,2且与轨迹C相切，求直线l的方程

5．（2023秋·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知曲线C上的动点Px,y满足到定点A0,-1

(1)求曲线C的方程；

(2)过点M2,1的直线l与曲线C交于两点M?N，若MN=4

6．（2023秋·河南商丘·高二校考阶段练习）已知Rt△ABC的斜边为AB，且

(1)求直角顶点C的轨迹E的方程；

(2)直线l:kx-y+2k=0与E交于两点M

【考点3：与圆有关的最值问题】

（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法:

一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解,注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离.

（2）与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法:

形如型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；

形如t=ax+by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题；

形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离平方的最值问题.

（3）与距离最值有关的常见的结论:

①圆外一点A到圆上距离最近为|AO|-r,最远为|AO|+r；

②过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦；

③直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d+r,最近为d-r；

④过两定点的所有圆中,面积最小的是以这