《弹性力学》 课件 第4章 广义胡克定律.pptx

1第4章广义胡克定律与弹性常数§4.1广义胡克定律§4.2各向同性弹性§4.3弹性应变能函数§4.4横观各向同性弹性

2问题的提出§4.1广义胡克定律弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用15个变量来描述。即：6个应力分量，3个位移分量，6个应变分量。已学的基本方程-9个。包括：变形体的平衡微分方程（微元体的力平衡）3个，几何方程（应变-位移关系）6个。未知变量的个数（15）多于方程数（9）。因此，必须研究受力物体的应力-应变之间的关系-物理方程（本构方程）。对于弹性问题，即广义胡克定律。

3§4.1广义胡克定律（一）单向应力状态下胡克定律对于各向同性的均匀材料，单向应力状态下，处于线弹性阶段材料，其应力与应变关系可由下式表示：νν

4（二）平面应力状态§4.1广义胡克定律对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下，正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的叠加原理是适用的。平面双向拉（压）应力纯剪应力状态

由于应力?x的作用：x方向应变为y方向应变为由于应力?y的作用：y方向应变为x方向应变为同时有?x和?y作用在x方向及y方向的应变为（二）平面应力状态§4.1广义胡克定律在?x和?y作用下，z方向的应变5

6在剪应力作用下，X-Y平面内的剪应变与纯剪时相同，即：式中，为剪切弹性模量纯剪应力状态（二）平面应力状态§4.1广义胡克定律

7（三）三维应力状态§4.1广义胡克定律用相同的方法，可以导出三维应力状态下的各向同性均匀材料的广义胡克定律，其形式为：（各向同性均匀材料的含义，即材料内部各处的不同方向具有相同的v、E、G值）

8将上式的前三式左右两边相加后，则有如令则上式可写为或上式表明：弹性变形时，体积变化与三个正应力之和即应力张量的球张量成正比，而与应力偏量无关。（三）三维应力状态§4.1广义胡克定律

9（三）三维应力状态-应变表示应力§4.1广义胡克定律v

10§4.1广义胡克定律（三）三维状态下胡克定律

11§4.1广义胡克定律（三）三维状态下胡克定律其中，（）为弹性常数。上式建立了应力与应变之间的一般关系，称之为广义胡克定律。式中共有36个常数。

12§4.1广义胡克定律（四）弹性常数矩阵的对称性上述36个常数并不都是独立的，从§4.3节能量角度考虑，弹性常数矩阵是对称的，即极端各向异性的弹性体其独立弹性常数只有21个。根据材料本身性质的对称性，独立的弹性常数个数将发生变化:若材料具有一个对称面，则弹性常数减少至13个；若材料具有三个正交的对称面，即材料具有正交各向异性，则弹性常数减少至9个；若材料是横观各向同性的，则弹性常数减少至5个；若材料是各向同性的，则弹性常数只有2个。

13§4.1广义胡克定律（五）弹性常数矩阵对称性证明假设材料具有一个对称面，证明弹性常数可由21个减少至13个。材料在坐标系下，其应力张量为：其应变张量为：

14§4.1广义胡克定律（五）弹性常数矩阵对称性证明则根据广义胡克定律，其本构方程可表达为：现在如图所示旋转坐标系，旋转后应力张量为：

15§4.1广义胡克定律（五）弹性常数矩阵对称性证明旋转后应变张量为：新坐标系下应力与应变分量关系仍可用广义胡克定律表示：

16§4.1广义胡克定律（五）弹性常数矩阵对称性证明坐标系旋转前与旋转后应力、应变分量关系可用转换公式获得新旧坐标系之间的转换矩阵为：且有：根据上述两式得：

17§4.1广义胡克定律（五）弹性常数矩阵对称性证明将上述关系带入转轴后广义胡克定律得：因此：同理：如此，弹性常数矩阵变为：弹性常数减少至13个。

18§4.1广义胡克定律（五）弹性常数矩阵对称性证明特别地，在正交各向异性条件下，弹性常数矩阵为：

19§4.2弹性常数（一）拉梅常数在主坐标系内考虑各向同性材料，由于，对影响与对和对影响相同，因此有同理，对和对影响、对和对影响、以及对和对影响相同：因此，各向同性材料只有