《弹性力学》 课件 第5章 弹性力学的一般原理.pptx

1第5章弹性力学问题的一般原理§5.1基本方程§5.2边界条件§5.3位移法§5.4应力法§5.5解的唯一性§5.6叠加原理§5.7圣维南原理§5.8应变能定理§5.9功的互等定理§5.10最小变形能定理

2（一）平衡方程§5.1基本方程（5.1-1）

3（二）几何方程§5.1基本方程（5.1-2）xyOPABuv

4（二）几何方程-应变协调方程§5.1基本方程（5.1-3）

5（三）本构方程Constitutiveequations(homogeneousisotropic)§5.1基本方程（5.1-4）（5.1-5）

6§5.1基本方程3个平衡方程6个几何相容方程6个本构方程}15个独立方程15个未知量：问题：解决：需要找到相应的边界条件，才能解出符合实际的解。3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量15个方程解15个未知量有无数组解

7§5.2边界条件（一）基本概念S表示边界,：位移边界，：应力边界。应力边界条件：所有面力边界条件均已知。位移边界条件：所有位移边界条件均已知。混合边界条件：部分面力边界和部分位移边界条件已知。

8（二）应力边界条件§5.2边界条件物体在全部边界上所受的面力是已知的，面力分量在边界上是坐标已知函数。把面力已知的条件转换成为应力的已知条件，即为应力边界条件。在弹性体全部边界条件上已知面力边界的单位法向量为n=

9（二）应力边界条件§5.2边界条件f平面问题应力边界条件

10（二）应力边界条件-示例§5.2边界条件两端受拉应力平板：上边界：边界条件写作：

11§5.2边界条件下边界：左边界：右边界：（二）应力边界条件-示例

12（三）位移边界条件§5.2边界条件在弹性体全部边界上已知位移，边界条件为：

13（三）位移边界条件§5.2边界条件径向位移为零，即：位移控制加载侧限压缩试验中土样在周边边界：上述轴对称问题转换为一个平面应变问题在上边界：竖向位移为，即在下边界：竖向位移为零，即：在对称轴上：径向位移为零，即：

14（四）混合边界条件§5.2边界条件xyOqf

15（四）示例§5.2边界条件无限长坝体上边界为应力边界条件：下边界为位移边界条件：竖向位移为零，即：左边界为应力边界条件：右边界为应力边界条件：

16（四）示例§5.2边界条件xyahhq(1)(2)(4)(3)

17（四）示例§5.2边界条件图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明：在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解：平面应力问题，在AC、AB边界上无面力作用。由应力边界条件公式AB边界：（1）AC边界：（2）∵A点同处于AB和AC的边界，∴同时满足式（1）和（2），解得∴A点处无应力作用

18（四）示例§5.2边界条件上、下边界左边界

19§5.3位移法（一）按位移求解弹性力学问题弹性力学问题的求解方法：(a)位移法；(b)应力法。位移法：取位移分量为基本未知变量，利用基本方程和边界条件，求解弹性力学问题。?位移法求解弹性力学问题的基本步骤①利用几何方程用位移表示应变②代入本构方程，得到用位移表示的应力分量③代入平衡微分方程，得出关于位移的方程式④利用边界条件，求解关于位移分量的方程组，得出位移分量⑤代入几何方程，求出应变分量⑥代入本构方程，求出应力分量。

20§5.3位移法弹性体的本构方程表达为：（一）按位移求解弹性力学问题几何方程：将几何方程代入本构方程：

21§5.3位移法（一）按位移求解弹性力学问题将方程代入平衡方程：平衡方程：以平衡方程第一式为例：

22§5.3位移法（一）按位移求解弹性力学问题化简得：同理，其他方向平衡方程可化为：即：

23若忽略体力，可得拉梅-纳维（Lame-Navier）方程:§5.3位移法（一）按位移求解弹性力学问题求得位移分量、、后，将其代入几何方程即可求得应变分量，再将应变分量代入本构方程即可求得应力分量，从而使问题得解。

24§5.3位移法如右图所示杆件（长度远大于其他方向尺寸），在y方向上端固定，下端自由，受自重体力，的作用。试用位移法求解此问题。解：将问题视为一维问题求解，自动满足泊松比积分可得：y方向应变为：（二）示例1

25§5.3位移法（二）示例1根据