2024-2025学年高中数学试题选择性必修一（人教B版2019）第2章平面解析几何2-5-2椭圆的几何性质.docx

2.5.2椭圆的几何性质

课后训练巩固提升

A组

1.已知椭圆x25+y2k=1的离心率e=105,

A.3 B.3或253

C.5 D.15

答案:B

2.椭圆x225+y29=1与x29

A.长轴长相等 B.短轴长相等

C.焦点相同 D.焦距相等

答案:D

3.已知椭圆的中心为原点,焦点在x轴上.若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则椭圆的方程为()

A.x281+y272

C.x281+y245

解析:由题意可得,a=9,c=3,

故b2=a2c2=819=72.

又焦点在x轴上,故选A.

答案:A

4.若椭圆的一个顶点为(0,2),离心率e=12,则椭圆的方程为(

A.3x2

B.y24

C.3x216+y2

D.x28+y24

解析:当焦点在x轴上时,b=2,e=ca=12,则a2=b2+c2=4+c2=4c2,故c2=43,a2=163,故椭圆的方程为3x216+y24=1.当焦点在y轴上时,a=2,由e=ca=12,知c=

答案:C

5.(多选题)已知点A26,35在椭圆x2a2+y2

A.离心率为45 B.长轴长为

C.短轴长为6 D.焦点为(0,±4)

解析:将A26,35的坐标代入x2a2+y29=1,解得a=5.由a2=b2+c2,得c=4.故椭圆的离心率e=ca

答案:AC

6.椭圆x2+2y2=1的焦距为,离心率为.?

解析:∵a2=1,b2=12

∴a=1,c=a2

∴焦距为2c=2,离心率e=ca

答案:2

7.已知椭圆的半短轴长为1,离心率0e≤32,则长轴长的取值范围为

解析:∵b=1,∴c2=a21.

又c2a2=a2-1a2=1

又a210,∴a21,∴1a≤2,∴22a≤4.

答案:(2,4]

8.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且BF=2FD,则椭圆C的离心率为.?

解析:如图,不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,

由BF=2FD,得(c,b)=2(xc,y),

即c=2(

则D3c

由点D在椭圆上,知3c2

解得a2=3c2,即e2=13,故e=3

答案:3

9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m0)的离心率e=32,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标

解:椭圆方程可化为x2m+

∵mmm+3=m(m

∴a2=m,b2=mm+3,c=

由e=32,得e=c

解得m=1.

∴a=1,b=12,c=3

∴椭圆的长轴长为2,短轴长为1,焦点坐标为-32,0,3

10.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点到x轴的距离等于半短轴长的23,求椭圆的离心率

解:如图,设焦点坐标为F1(c,0),F2(c,0),M是椭圆上一点,依题意,不妨设M的坐标为c,

(方法一)在Rt△MF1F2中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,

即4c2+49b2=|MF1|2

又|MF1|+|MF2|=4c2+4

整理,得3c2=3a22ab.

又c2=a2b2,∴3b=2a.∴b2

∴e2=c2a2=

∴e=53

(方法二)不妨设椭圆的方程为x2a2+y

∵点M在椭圆上,∴c2a

∴c2a2=59,∴

B组

1.过椭圆x24+y23=

A.8,6 B.4,3 C.2,3 D.4,23

答案:B

2.设F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点.若△F2PF1

A.12 B.23 C.3

解析:如图,∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,

∴∠PF2A=60°,

|PF2|=|F1F2|=2c.

∴|AF2|=c.∴2c=32

∴e=34.故选

答案:C

3.(多选题)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1的长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,

A.2 B.3 C.1 D.10

解析:依题意得,3

或m

即3

解得0m≤1或m≥9.

答案:CD

4.已知椭圆C的焦点F1,F2在x轴上,离心率为12,过F1作直线l交C于A,B两点.若△F2AB的周长为8,则椭圆C的标准方程为

解析:设椭圆C的标准方程为x2a2+y

∵△F2AB的周长为8,∴4a=8,即a=2.

又e=ca=12,∴c=1,∴b2=a2c2=4

∴椭圆C的标准方程为x24+

答案:x24

5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=

解析:以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.

因为直线bxay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,

所以圆心到该直线的距离d=2abb

整理,得a2=3b2,即a2