高考备考资料之数学人教A版全国用讲义45第2课时.docx

第2课时简单的三角恒等变换

题型一三角函数式的化简

1．(2017·湖南长沙一模)化简：eq\f(2sin?π－α?＋sin2α,cos2\f(α,2))＝.

答案4sinα

解析eq\f(2sin?π－α?＋sin2α,cos2\f(α,2))＝eq\f(2sinα＋2sinαcosα,\f(1,2)?1＋cosα?)

＝eq\f(2sinα?1＋cosα?,\f(1,2)?1＋cosα?)＝4sinα.

2．化简：eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝.

答案eq\f(1,2)cos2x

解析原式＝eq\f(\f(1,2)?4cos4x－4cos2x＋1?,2×\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))·cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))

＝eq\f(?2cos2x－1?2,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))

＝eq\f(cos22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x)))

＝eq\f(cos22x,2cos2x)＝eq\f(1,2)cos2x.

3．(2018·聊城模拟)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(10),10)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝.

答案eq\f(4－3\r(3),10)

解析由题意可得，cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2))),2)＝eq\f(1,10)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2)))＝－sin2θ＝－eq\f(4,5)，即sin2θ＝eq\f(4,5).

因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(10),10)0，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，

所以0θeq\f(π,4)，2θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，

根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝eq\f(3,5)，

由两角差的正弦公式，可得

sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝sin2θcoseq\f(π,3)－cos2θsineq\f(π,3)

＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)－eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4－3\r(3),10).

4．已知α为第二象限角，且tanα＋taneq\f(π,12)＝2tanαtaneq\f(π,12)－2，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,6)))＝.

答案－eq\f(3\r(10),10)

解析由已知可得taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝－2，

∵α为第二象限角，

∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝eq\f(2\r(5),5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝－eq\f(\r(5),5)，

则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,6)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))

＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc