弹性力学 第9章 空间问题.pptx

第9章弹性介质中波的传播理论;第九章弹性固体介质中的波的传播;第九章弹性固体介质中的波的传播;§9.1集散波和畸变波;§9.1集散波和畸变波;§9.1集散波和畸变波;将畸变波与集散波相结合，就得到弹性介质中的波的传播的更一般的情形②。

对于这两种波，运动方程具有共同的形式

对于集散波

而对于畸变波

下面将证明，和各为平面集散波和平面畸变波的传播速度。

注：

①但集散一般都伴有剪应变。

②关于这种结合的普遍性及其与弹性静力学的联系，见E.Sternberg,Arch.Ra-tionalMech.AndAnal.,vol.6,pp.34-50,1960.

;§9.2平面波;§9.2平面波;§9.2平面波;§9.2平面波;§9.2平面波;如果考虑方程（9.2-2）中函数所示的“向后”波动，则方程（g）和方程（a）中的负号将改为正号。

在每一具体情况下，函数和须由t=0时的初始条件来决定。对于初瞬时，由方程（9.2-2）有

例如，假定初速度是零，但有初位移如下式所示：

为了满足条件（h），可以取

于是，在这一种情况下，初位移分为两半，作为相反方向的两个波进行传播（图9.2-1b）。;现在来考察横波，取轴沿波的传播方向，而轴沿横向位移的方向，于是位移和是零，而位移是和的函数。这时，由方程（9.1-2）得

这方程的形式与方程（9.2-1）相同，因而可以断定，畸变波沿轴传播的速度是

或者，用（9.2-3），得

当时，上列方程给出;任一函数

都是方程（i）的解，并代表以速度沿方向传播的波。例如，取解答1为如下的形式：

这个波是正弦曲线形的，波长为，波幅为。横向运动的速度是

当位移（k）为最大时，速度为零，而当位移为零时，速度有最大值。这个波所引起的剪应变是

;可见，在某一定点，剪应变的最大值与速度的最大绝对值同时发生。

这一类的波的传播可表示如下：设（图9.2-2）是弹性介质的一根细丝。当正弦曲线波沿轴传播时，细丝的一个单元将发生位移和畸变，其变化有如阴影单元1、2、3??4、5、…所示。在的瞬时，单元的位置如1所示。在这一瞬时，这单元的畸变和速度都是零。然后，它将

;

有一正速度，而在经过时间以后，它的畸变如2所示。在这一瞬时，这单元的位移是零而速度最大。再经过时间以后，情况如3所示，以后类推。取细丝的截面积为，则单元的动能是

而它的应变能是

;由于，因而可以断定，在任一瞬时，这单元的动能与势能相等。

当地震时，集散波与畸变波各以速度和在地球内传播。这两种波都可用地震仪记录，而两种波到达时间之差，可以约略指示记录站与扰动中心的距离。

正弦曲线形的和其他形式的平面波可用不同的方式相结合，以满足自由边界面或两种不同介质的交界面的物理条件。当传播方向不平行于界面时，将会发生相应于自由面的反射或相应于交界面的反射和折射①。平行于自由边界，以不同于和的速度传播的波动（瑞利表面波）9.5节中加以考虑。

注：

①例如，见H.Kolsky,“StressWavesinSolids”1953.;§9.3纵波在柱形杆中传播的初等理论;

或将式代入而得

其中

方程与9.2节中的方程（9.2-1）具有同样的形式，其通解为

;这通解的意义与前面对方程（9.2-2）所述的意义相仿。但这里的波速②是，如方程（9.3-1）所示。它低于方程（9.2-3）中的波速，比值为

当时，这个比值等于1.16.对于钢材，可以取

如果在方程中只保留函数（向前的波动），则由方程和方程（9.3-1）有