高中数学经典例题集.docVIP

高中数学经典例题集

第一局部

(一道解析几何题)

〔此题15分〕曲线C是到点和到直线

距离相等的点的轨迹，l是过点Q〔-1，0〕的直线，

M是C上〔不在l上〕的动点；A、B在l上，

轴〔如图〕。

〔Ⅰ〕求曲线C的方程；

〔Ⅱ〕求出直线l的方程，使得为常数。

〔Ⅰ〕解：设为上的点，由题设得：

．化简，得曲线的方程为．

ABOQyxlM

A

B

O

Q

y

x

l

M

，从而．

在中，因为

，．

所以.，

．

当时，，从而所求直线方程为．

解法二：设，直线，那么，从而

．过垂直于的直线．

ABOQyx

A

B

O

Q

y

x

l

M

H

l1

．

当时，，从而所求直线方程为．

〔不等式经典试题〕

例1假设，证明〔且〕．

分析1用作差法来证明．需分为和两种情况，去掉绝对值符号，然后比拟法证明．

解法1〔1〕当时，

因为，

所以

．

〔2〕当时，

因为

所以

．

综合〔1〕〔2〕知．

分析2直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号．

解法2作差比拟法．

因为

，

所以．

说明：解法一用分类相当于增设了条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质〔换底公式〕也能到达同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．

典型例题二

例2设，求证：

分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．

证明：

∵，∴

∴.∴

又∵，

∴.

说明：此题考查不等式的证明方法——比拟法(作商比拟法).作商比拟法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.

典型例题三

例3对于任意实数、，求证〔当且仅当时取等号〕

分析这个题假设使用比拟法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有，展开后很复杂。假设使用综合法，从重要不等式：出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。

证明：∵〔当且仅当时取等号〕

两边同加，

即：〔1〕

又：∵〔当且仅当时取等号〕

两边同加

∴

∴〔2〕

由〔1〕和〔2〕可得〔当且仅当时取等号〕．

说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．

典型例题四

例4、、，，求证

分析显然这个题用比拟法是不易证出的。假设把通分，那么会把不等式变得较复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比方，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧．

证明：∵

∴

∵，同理：，。

∴

说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期到达可以“凑倒数”的目的．

典型例题五

例５，求证：＞0.

分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.

证明一：(分析法书写过程)

为了证明＞0

只需要证明＞

∵

∴

∴＞0

∴＞成立

∴＞0成立

证明二：(综合法书写过程)

∵∴

∴＞＞0

∴＞成立

∴＞0成立

说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言表达清楚.

典型例题六

例6假设，且，求证：

分析这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径．但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的〔条件或某些定理等〕．

证明：为要证

只需证，

即证，

也就是，

即证，

即证，

∵，

∴，故即有，

又由可得成立，

∴所求不等式成立．

说明：此题考查了用分析法证明不等式．在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证……需证……”，综合法的书写过程是：“因为〔∵〕……所以〔∴〕……”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混．

典型例题七

例7假设，求证．

分析：此题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法．

证法一：假设，那么，

而，故．

∴．从而，

∴．

∴．

∴．

这与假设矛盾，故．