矩估计和极大似然估计.ppt

5.得极大似然估计量：求解得极大似然估计值第31页，共53页，星期日，2025年，2月5日似然函数为：例6设为未知参数，是来自X的一个样本值，求的极大似然估计值。解：X的概率密度为：第32页，共53页，星期日，2025年，2月5日解得：令即：它们与相应的矩估计量相同.第33页，共53页，星期日，2025年，2月5日注：lnx是x的严格单增函数，lnL与L有相同的极大值，一般只需求lnL的极大值.求极大似然估计的一般步骤：写出似然函数2.对似然函数取对数3.对?i(i=1,…,m)分别求偏导,建立似然方程(组)解得分别为的极大估计值.第34页，共53页，星期日，2025年，2月5日例7矩估计与似然估计不等的例子设总体概率密度为求参数θ的极大似然估计,并用矩法估计θ.解1)极大似然估计法构造似然函数2.取对数：当0xi1,(i=1,2,…,n)时第35页，共53页，星期日，2025年，2月5日2.取对数：当0xi1,(i=1,2,…,n)时建立似然方程求解得极大似然估计值为5.极大似然估计量为第36页，共53页，星期日，2025年，2月5日2)矩估计法第37页，共53页，星期日，2025年，2月5日1.矩法估计量与极大似然估计量不一定相同；2.用矩法估计参数比较简单,但有信息量损失；3.极大似然估计法精度较高,但运算较复杂；4.不是所有极大似然估计法都需要建立似然方程小结求解.第38页，共53页，星期日，2025年，2月5日*关于矩估计和极大似然估计第1页，共53页，星期日，2025年，2月5日第七章第一节矩法估计二、常用分布参数的矩法估计一、矩法估计第2页，共53页，星期日，2025年，2月5日矩估计步骤：连续型离散型第3页，共53页，星期日，2025年，2月5日所以参数p的矩估计量为例：总体X的分布列为：是来自总体X的样本，解：由于总体X的分布为二项分布，第4页，共53页，星期日，2025年，2月5日设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X例1服从第5页，共53页，星期日，2025年，2月5日下面我们通过几个例子说明利用矩估计法求未知参数的过程。二、常用分布常数的矩法估计第6页，共53页，星期日，2025年，2月5日例2解第7页，共53页，星期日，2025年，2月5日注:总体均值方差的矩估计量与总体分布无关。做矩估计时,也可用中心矩建立关于未知参数的方程组，因而矩估计不唯一。λ未知，求参数λ的矩估计。例3解：第8页，共53页，星期日，2025年，2月5日解不合格品率p的矩法估计分析设总体X为抽的不合格产品数，相当于抽取了一组样本X1，X2，…，Xn,且因p=EX,故p的矩估计量为设某车间生产一批产品，为估计该批产品不合格品(即出现不合格产品的频率).例4率，抽取了n件产品进行检查.第9页，共53页，星期日，2025年，2月5日例5解第10页，共53页，星期日，2025年，2月5日第11页，共53页，星期日，2025年，2月5日θ是未知参数，X1，X2，…,Xn，是X的一组样本，解设总体X的概率密度为解得例6求θ的矩估计量.第12页，共53页，星期日，2025年，2月5日其中θ＞0，μ与θ是未知参数，X1，X2，…,Xn，是X的一组样本，求μ与θ的矩估计量.解例7.设总体X的概率密度为令第13页，共53页，星期日，2025年，2月5日令注意到DX=E(X2)－(EX)2=θ2=θ2+(θ+μ)2第14页，共53页，星期日，2025年，2月5日第七章第二节极大似然估计极大似然估计第15页，共53页，星期日，2025年，2月5日极大似然估计法:设是的一个样本值事件发生的概率为为的函数，形式已知(如离散型)X的分布列为的联合分布列为：为样本的似然函数。定义7.1第16页，共53页，星期日，2025年，2月5日即取使得：与有关,记为称为参数θ的极大似然估计值。称为参数θ的极大似然估计量。达到最大的参数作为θ的估计值。现从中挑选使概率样本的似然函数第17页，共53页，星期日，2025年，2月5日若总体X属连续型,其概率密度