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上海市金山中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．经过两点和的直线的倾斜角是.

2．已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为．

3．若抛物线：的焦点在直线上，则p等于.

4．已知全集，集合．若，则实数a的取值范围是．

5．双曲线的左焦点F到其中一条渐近线的距离为．

6．如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为.

7．已知空间四边形两对角线的长分别为8和10，所成的角为60°，依次连接各边中点所得四边形的面积是.

8．已知椭圆C的焦点、都在x轴上，P为椭圆C上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆C的标准方程为．

9．已知点到平面的距离是2，动点、在平面内，且，则的最小值为.

10．已知定义在上的函数满足，当时，，若，则的最小值为.

11．某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为．

??

12．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为．

二、单选题

13．若，，则下列不等式成立的是（???）

A． B． C． D．

14．设是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则与异面 D．若，则

15．设曲线E的方程为1，动点A（m，n），B（﹣m，n），C（﹣m，﹣n），D（m，﹣n）在E上，对于结论：①四边形ABCD的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（????）

A．①错，②对 B．①对，②错 C．①②都错 D．①②都对

16．如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（????）

A．

B．向量在向量上的投影向量为

C．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为

D．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个

三、解答题

17．在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为．

(1)求点C坐标；

(2)求直线BC的方程．

18．设向量，，.

(1)求函数的最小正周期及单调增区间；

(2)在中，角、、的对边分别为、、.若，，且，求的面积.

19．筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．

????

(1)求到平面的距离；

(2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

20．已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为.

(1)求的方程；

(2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积；

(3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上.

21．已知是定义在上的函数，满足恒成立.数列满足:，.

(1)若函数，求实数的取值范围;

(2)若函数是上的减函数，求证：对任意正实数，均存在，使得时，均有；

(3)求证：函数是上的增函数是存在，使得的充分非必要条件.

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《上海市金山中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

C

D

D

C

1．

【分析】利用斜率公式求得直线的斜率，可得，可求直线的倾斜角.

【详解】因为直线过和，

所以直线的斜率，

记直线的倾斜角为，所以，

又，则可得．

故答案为：.

2．

【分析】根据条件，直接求出，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.

【详解】设圆柱的底面半径为，所以，得到，

又圆柱的母线长为，所以圆柱的体积为，

故答案为：.