弹性力学 课件 第4、5章 平面问题的基本理论； 平面问题的直角坐标解答.pptx

弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12

平面问题的直角坐标解答TheCartesianCoordinateSolutiontoPlaneProblems弹性力学多项式解答01纯弯曲梁的弹性力学解02简支梁受均布荷载03楔形体受重力和液体压力04弹性力学级数式解答05

课程回顾00CourseReview

应力函数求解弹性力学问题协调方程边界条件应力函数不计体力可写为：

弹性力学平面问题应力解法的数学模型一是如何构造可以作为应力一般解的双调和函数，即寻求双调和函数Φ的一般解；在给定边界条件的情况下用直接积分去求解弹性力学的基本方程，确定物体内的应力、应变和位移，一般地讲是很困难的，只有对一些简单的问题才适用。所以，往往对具体问题采用逆解法或半逆解法求解，而解的唯一性定理为弹性力学问题的逆解法提供了一个理论根据。二是对具体问题(即给定边界条件下的问题)求解。在V内??问题归结为：（3-1）

逆解法（这种解法有两种含义）弹性力学平面问题应力解法的数学模型?另一种含义是：通过材料力学或某种分析得到某问题的可能解答，然后检查它是否满足全部方程和边界条件。半逆解法?若不满足，或出现矛盾，则需修改原来所设的函数，重新检查，一直到满足为止。半逆解法系由圣维南提出，所以又称圣维南解法，或凑合解法。

弹性力学多项式解答01Polynomialsolution

①一次多项式?z无应力状态满足双调和方程z?经过验证，下列函数?都是满足双调和方程或因而，它们都是可能的应力函数。在体力不计的情况下，我们考虑上述可能的应力所对应的应力分量。

2aoxy2aoxybb2coxy2c②取二次多项式满足双调和方程????

②取二次多项式因此，对于矩形板，当受到图（d）所示的面力作用时，可用多项式Ф=ax2+bxy+cy2作为应力函数来求解。2aoxy2abb2c2c从而得到：?x=2c，?y=2a，?xy=-b这一解答。

③再取三次多项式?满足双调和方程???

③取三次多项式??????

当使用逆解法求解时，自然会产生这样一个疑问：这样求得的解是不是唯一的解？会不会还有其他解答？解的唯一性定理：在没有初应力的情况下，对应着一定的边界条件，弹性力学问题的解是唯一的。这就是解的唯一性定理。另外，是否可能找出两组不同的解，它们对应着同一个边界情况。若有这种可能，用逆解法求解的解就不一定是问题的真正的解。根据这一定理，不论是用正解法（直接积分法）或从用逆解法，只要所求得的解满足弹性力学的全部要求，它就是唯一的解。

21函数形式能否作为应力函数应力分量边界上的面力Ф=a+bx+cy能?x=?y=?xy=0Ф=ax2能?x=?xy=0?y=2aФ=ay2能?y=?xy=0?x=2ah/2h/2yxo??????????序号3

???564Ф=axy能?x=?y=0?xy=-aФ=ax3能?x=?xy=0?y=6axФ=ax2y能?x=0,?xy=-2ax?y=2ay??????????????函数形式能否作为应力函数应力分量边界上的面力序号

7Ф=axy2能?x=2ax,?xy=-2ay,?y=0????????记忆、理解对多项式表述的应力函数及其对应的应力状态。函数形式能否作为应力函数应力分量边界上的面力序号

纯弯曲梁的弹性力学解答02ElasticMechanicsSolutionforPureBendingBeam

矩形梁纯弯曲-求出位移分量如图所示，矩形截面的直梁，厚度远小于深度和长度，在两端受有相反的力偶而弯曲，体力可以不计，求该梁的应力分量及位移分量。?????????上一节结论：???胡克定律

几何条件??????左边y的函数，右边x的函数?

位移分量讨论：从u的表达式看，不论约束情况如何，铅直线段的转角都是：?、u0、v0必须由约束条件求得。可见，在同一横截面，x为常量，则铅垂直线的转角相同。平截面假设成立。

位移边界条件：以简支梁来研究位移边界条件：????????以梁中线(y=0)作为挠曲线带入位移表达式：得：

悬臂梁情况下位移分量?????位移边界条件：带入位移表达式：求解，得：选择中性层，即y=0，挠度方程为：

简支梁受均布荷载03Simplysupportedbeamssubjectedtouniformlydistributedloads

问题的提出设一矩形截面的简支梁跨度为2l，在梁的上边界受有均匀分布的荷载q作用，如图。试分析梁内应力分量，并与材料力学结果相比较