2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）开学数学试卷（含答案）.docxVIP

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2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x||x?3|2}，B={x|2x?1x?2≤1}，则A∪B=

A.(1,2] B.(1,2) C.[?1,5] D.[?1,5)

2.已知复数z满足|z|=2，|z?2|=2，则z+z?=

A.23 B.2 C.?2

3.已知α,β∈(0,π2)，且满足tanαtan(β?π4

A.2 B.3 C.33

4.已知向量|a|=22，b=(1,?1)，|a+b

A.(?12,12) B.(?2,2)

5.已知双曲线C：x2a2?y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线x=2a

A.62 B.2 C.3

6.设a=ln54,b=sin14,c=0.2，则a

A.abc B.bac C.bca D.cba

7.已知正数a，b满足(a+b)3?4=ab(3a+3b?2)，则a+b的取值范围为

A.[23,1) B.(32,+∞)

8.数列{an}满足a1∈Z，an+1+an=2n+3，且其前

A.99 B.103 C.137 D.169

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数f(x)=lnx+ln(2?x)，则下列结论中正确的是(????)

A.f(x)在(0,1)单调递增 B.f(x)在(1,2)单调递减

C.y=f(x)的图像关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图像关于点(0,1)对称

10.在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E是棱BB1的中点，点F

A.若F是棱CD的中点，则EF//平面A1BD

B.若EF⊥平面A1C1E，则F是BD的中点

C.若F在棱AD上运动(含端点)，则点F到直线A1E的距离最小值为45

11.如图，心形曲线L：x2+(y?|x|)2=1与y轴交于A，B两点，点P是

A.点(22,0)和(?1,1)均在L上

B.点P的纵坐标的最大值为2

C.|OP|的最大值与最小值之和为

三、填空题：本题共3小题，共20分。

12.函数f(x)=ax2+ex,x≥0,

13.我校田径队有十名队员，分别记为A，B，C，D，E，F，G，H，J，K，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队.其中将A，B，C，D，E五人排成一行形成甲队，要求A与B相邻，C在D的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求F与G不相邻，则不同的排列方法种数为______．

14.记Nm?={1,2,3,?,m}(m∈N?),Ak表示k个元素的有限集，S(E)表示非空数集E中所有元素的和，若集合Mm,k={S(

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知数列{an}和等差数列{bn}满足a1=1，a2=2，a3=6，且当n≥2时，log2an=1+bn

16.(本小题12分)

在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，1+tanBtanC=2ac．

(1)求角B的大小；

(2)求sinA+sinC取值范围；

(3)当sinA+sinC取得最大值时，在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线段DC=2，DA=1

17.(本小题12分)

如图1，在平行四边形ABCD中，D=60°，DC=2AD=2，将△ADC沿AC折起，使点D到达点P位置，且PC⊥BC，连接PB得三棱锥P?ABC，如图2．

(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；

(2)在线段PC上是否存在点M，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为58，若存在，求出|PM||PC|的值，若不存在，请说明理由．

18.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点，上顶点，若C的离心率为32，且O到直线AB的距离为255．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点P(2,1)的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，点N在x轴下方且不在y轴上，设直线BM，BN的斜率分别为k1，k2．

①求证：

19.(本小题12分)

已知函数f(x)=ex?ax?cosx，且f(x)在[0,+∞)上的最小值为0．

(1)求实数a的取值范围；

(2)设函数y=φ(x)在区间D上的导函数为y=φ′(x)，若x?φ′(x)?(x)1对任意实数x∈D恒成立，则称函数y=φ(x)在区间D上具有性质S．

①求证：函数f(x)在(0,+∞)上具