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冲刺2024年高考数学真题重组卷（天津专用）

真题重组卷01（参考答案）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

A

C

C

D

C

A

B

A

第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。

10．11．1512．613．

14.15.1

三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

16．(15分)

【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．

（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．

（3）因为，所以，故，又，所以，，而，所以，

故．

17．(15分)

【详解】（1）易知点、，故，

因为椭圆的离心率为，故，，

因此，椭圆的方程为；

（2）设点为椭圆上一点，

先证明直线的方程为，

联立，消去并整理得，，

因此，椭圆在点处的切线方程为.

在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，

直线的斜率为，所以，直线的方程为，

在直线的方程中，令，可得，即点，

因为，则，即，整理可得，

所以，，因为，，故，，

所以，直线的方程为，即.

18．(15分)

【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、、、，则，

易知平面的一个法向量为，则，故，

平面，故平面.

（2）解：，，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，.

因此，直线与平面夹角的正弦值为.

（3）解：，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，则，

因此，平面与平面夹角的余弦值为.

19．(15分)

【详解】（1）设公差为d，公比为，则，

由可得（舍去），

所以；

（2）证明：因为所以要证，

即证，即证，

即证，

而显然成立，所以；

（3）因为

，

所以

，

设

所以，

则，

作差得

，

所以，

所以.

20．(15分)

【详解】（I），则，

又，则切线方程为；

（II）令，则，

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

当时，，，当时，，画出大致图像如下：

所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，

当时，，则，单调递增，

当时，，则，单调递减，

为的极大值点，故存在唯一的极值点；

（III）由（II）知，此时，

所以，

令，

若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，

，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，故，

所以实数b的取值范围.