2023-2024学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（1+i）（1﹣i）2的值为（）

A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．2+2i D．﹣2+2i

2．对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为1的正方形（如图），则原图形的面积是（）

A．2 B．2 C．22 D．

3．已知在△ABC中，AB=2，AC=22

A．π4 B．3π4 C．π4或3π4

4．已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为（）

A．4π B．6π C．8π D．16π

5．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP→=1

A．4 B．5 C．6 D．8

6．以下说法正确的是（）

A．a是平面α外的一条直线，则过a且与α平行的平面有且只有一个

B．若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行

C．平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β

D．空间中A，B，C三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1的平面恰有两个

7．已知△ABC满足3CA→?CB

A．35 B．45 C．63

8．已知正四棱锥P﹣ABCD的内切球半径为r，则当四棱锥P﹣ABCD的体积最小时，它的高为（）

A．22r B．3r C．4r D．

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．以下关于向量的说法，正确的有（）

A．(a→?b→)?c

C．|a→?a→?a→|=|a→|

10．已知z1，z2为复数，z1z2≠0，则以下说法正确的有（）

A．|z1||z2|=|z1z2| B．|z1

C．z1z2，z1z2互为共轭复数 D．若|z1|＝1，则|

11．如图，在菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内．在翻折的过程中，下列结论正确的有（）

A．MN∥平面ABD

B．异面直线AC与MN所成角为定值

C．设菱形ABCD边长为a，∠CDA＝60°，当二面角D﹣AC﹣B为120°时，三棱锥D﹣ABC的外接球表面积为73

D．若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则∠ABC的取值范围是(0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．若复数z满足（1+i）z＝1+3i，则z的虚部为．

13．已知向量a→=(2，1)，b→=(2，

14．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面BA1C1内的动点，满足B1P=64a，则直线D1P与平面BA1C1

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）已知复数z＝sinθ+i（cos2θ+1），θ∈R，且2z﹣i是实数．

（1）求θ的值；

（2）求z3的值．

16．（15分）如图所示，正方体ABCD﹣ABCD的棱长为2，E，F分别为AB，BC的中点，点G满足B

（1）若λ=12，证明：EG∥平面D

（2）连接BD，点M在线段BD上，且满足DM∥平面EFG．当λ∈[12，

17．（15分）设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（2cosA+sin2C）＝csinBsinC+b．

（1）求A的值；

（2）设c=3，△ABC为锐角三角形，D是边AC的中点，求DB

18．（17分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PB＝PD．

（1）证明：平面PBD⊥平面PAC；

（2）若PA＝1，PA与平面ABCD的夹角为π4，求二面角P﹣BC﹣A

19．（17分）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．对于凸多面体，有著名的欧拉公式：n﹣e+f＝2，其中n为顶点数，e为棱数，f为面数．

我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点、棱、面之间的一些数量关系．例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数．一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，e＝12，f＝6，可以得到顶点数n＝8．

（1）已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；

（2）证明：n个顶点的凸多面体，至多有3n﹣6条棱；

（3）已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱