2023-2024学年浙江省丽水市五校高中发展共同体高一（下）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年浙江省丽水市五校高中发展共同体高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．若复数z满足z?（1+i）＝1﹣i（i为虚数单位），则z的虚部为（）

A．1 B．﹣1 C．﹣i D．i

2．已知a→，b→为非零向量，则“|a→+b→|＝|a→|+|

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．在空间几何中下列说法正确的是（）

A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行

C．过一点有且只有一个平面与已知直线平行

D．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直

4．已知在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=π3，c＝2，BC边上的高等于a3

A．92 B．9 C．332

5．已知点O为△ABC所在平面内一点，且|OA→|=|OB→|=|OC

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

6．已知m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，若直线l满足m⊥l，n⊥l，l?α，l?β，则（）

A．α∥β，l∥α B．α⊥β，l⊥β

C．α∩β＝直线r，r∥l D．α∩β＝直线r，r⊥l

7．已知A、B、C三点在以O为圆心，1为半径的圆上运动，且AC⊥BC，M为圆O所在平面内一点，且|OM|＝2，则下列结论错误的是（）

A．|MC→|的最小值是1 B．

C．|MA→+MB→+2MC→|的最大值是

8．设A、B、C是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）与函数g(x)=cos(5π6-ωx)(ω＞0)的图象

A．(0，33π) B．(33π，

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分）

9．已知钝角△ABC中，若A＞B，则下列命题中正确的是（）

A．sinA＞sinB B．cosA＞sinB C．cosA＜cosB D．sinA＜cosB

10．若复数z＝a+bi（a，b∈R），满足|iz|＝1（i为虚数单位），则下列结论正确的是（）

A．|z|＝1 B．ab≤12 C．a+b≥﹣1

11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P是AA1的中点，点M是正方体内（含表面）的动点，且满足D1M⊥CP，下列选项正确的是（）

A．动点M在侧面AA1B1B内轨迹的长度是5

B．三角形A1D1M在正方体内运动形成几何体的体积是2

C．直线D1M与BC所成的角为α，则tanα的最小值是25

D．存在某个位置M，使得直线BD1与平面A1D1M所成的角为π

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12．已知向量a→=(1，2)，b→=(cosθ，sinθ)，且a

13．高为1的圆锥，侧面积为23π，则过其顶点的截面面积最大值为

14．已知在锐角△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B=π6，则b2ac的取值范围是

四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15．（13分）已知在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且asinC

（Ⅰ）若A=π3，

（Ⅱ）求证：A＝2C．

16．（15分）如图在三棱台ABC﹣A′B′C′中，四边形ACC′A′是等腰梯形，平面ACC′A′⊥平面ABC，∠A′AC＝45°，AB＝BC＝AC＝2A′C′＝2．

（1）求三棱台ABC﹣A′B′C′的体积；

（2）求平面A′BC与平面ABC夹角的余弦值．

17．（15分）欧拉公式：eix＝cosx+isinx（i为虚数单位，x∈R），是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”．

（1）根据欧拉公式计算e2

（2）设函数f（x）＝（eix+e﹣ix）2+（eix﹣e﹣ix）2，求函数f（x）在[π

18．（17分）如图在平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝2AD＝4，E、F分别为AB和BC上的动点（包含端点），且AE→=λAB

（1）若λ=μ=1

①请用AF→，DE→表示

②设AF与DE相交于点G，求|AG

（2）若λ+μ＝1，求AF→

19．（17分）“风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史．相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间