湖南省常德市高中学校联盟2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题（原卷版）.docx

常德市优质高中学校联盟·2024年下学期高二期末质量检测

数学

本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无

效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A.B.C.D.

2.在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则（）

A.2B.4C.5D.6

3.以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（）

A.B.

C.D.

4.已知等差数列前项和为，，则（）

A.B.C.D.

5.已知椭圆左、右焦点分别为，，若椭圆上一点P满足，且

，则椭圆的离心率为（）

A.B.C.D.

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6.已知函数，（），若与在区间上

有且仅有3个交点，则最小值是（）

A.B.C.D.

7.在中，已知，，，是的中点，是线段上一点，且

.连接并延长交于点，则线段的长度为（）

A.B.C.D.

8.已知正四面体顶点，，均在球的表面上，球心在平面内，棱与球面交于

点.若平面，平面，平面，平面，（）且与

（）之间的距离为同一定值，棱，分别与交于点，，若的周长为

，则球的半径为（）

A.2B.1C.D.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.

9.已知双曲线：的上焦点为，直线：是的一条渐近线，是上支上的一

点，为坐标原点，则（）

A.到的距离为2B.的焦距为

C.的离心率为D.若，则的最小值为4

10.如图，点在棱长为1的正方体的面对角线上运动点异于点），则下列

结论正确的是（）

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A.异面直线与所成角为60°

B.

C.三棱锥的体积为

D.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为

11.定义为不超过的最大整数，例如：，.已知集合，且，

，，下列说法正确的是（）

A.若，则

B.若，则的真子集个数为

C.记为中所有元素之和，且（），则数列的单调性无法确定

D.若（），正整数满足：对任意，，都有，则的最小

值为3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知抛物线：（）上一点到其焦点距离与到轴的距离之差为2，则

______.

13.记数列的前项和为，若，则______.

14.如图所示，由半椭圆和两个半圆，

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组成曲线，其中点、分别是的上、下焦点和、的

圆心.若过点、作两条平行线、分别与、和、交于、和、，则的

最小值为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆经过，，且圆心在直线上.

（1）求圆的标准方程；

（2）若直线：截得圆弦长最短时，求实数的值.

16.在中，内角，，对应的边分别为，，，.

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值.

17.如图，四棱台的上，下底面为正方形，与交于点，平面平面

，平面平面.

（1）证明：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

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18.已知抛物线（）的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点，

，点在第一象限，为坐标原点.

（1）求的最小值（用表示）；

（2）若直线与抛物线的准线交于点

（ⅰ）求证：轴；

（ⅱ）若直线的斜率大于零，的中点为，过点作直线的垂线交抛物线的准线于点，

与的面积相等，求直线的斜率.

19.已知数列为等差数列，其前项和为，，，数列的前项和为，，

（）.定义：若被除得的余数为，记为，如：，

，数列满足，记的前项和为.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若对任意，都有恒成立，求的最大值；

（3）求数列的前项和.

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