2018年数学（北师大版选修2-2）练习阶段质量评估3.doc

阶段质量评估(三)导数应用

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是()

A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)

C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)

解析：f′(x)＝3x2＋a.令3x2＋a≥0，则a≥－3x2，

∵x∈(1，＋∞)，∴a≥－3.

答案：B

2．若an＝n(n＋2)(n－2)(n＝1,2,3，…)，则数列{an}为()

A．先递增后递减数列 B．先递减后递增数列

C．递增数列 D．递减数列

解析：令f(x)＝x(x＋2)(x－2)＝x3－4x，

∴f′(x)＝3x2－4.当x≥2时，f′(x)＝3x2－40恒成立．

∴当n≥2时，an＝n(n＋2)(n－2)为递增数列．

又∵a1＝－30，a2＝0，

∴a1a2，从而当n∈N＋时，{an}为递增数列．

答案：C

3．函数f(x)＝eq\f(x,1－x)的单调增区间是()

A．(－∞，1) B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)，(1，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)

解析：∵f′(x)＝eq\f(x′?1－x?－x?1－x?′,?1－x?2)＝eq\f(1－x＋x,?1－x?2)＝eq\f(1,?1－x?2)0，

又x≠1，∴f(x)的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．

答案：C

4．将8分为两正数之和，要使其立方和最小，则分法为()

A．2和6 B．4和4

C．3和5 D．以上都不对

解析：设一个数为x，则另一个数为8－x，则y＝x3＋(8－x)3，且0x8，y′＝3x2－3·(8－x)2.

令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.

当0x4时，y′0；当4x8时，y′0.

∴当x＝4时，y最小．

答案：B

5．下列说法正确的是()

A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大

B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值

C．对于f(x)＝x3＋px2＋2x＋1，若|p|eq\r(6)，则f(x)无极值

D．函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值

解析：极值是在局部范围内的问题．在整个函数定义域内极大值不一定比极小值大，故A错．函数y＝x3在[－1,1]上有最大值，但没有极值，故B错．函数y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上没有最值，故D错．

答案：C

6．已知f′(x)是f(x)的导函数，在区间[0，＋∞)上f′(x)0，且偶函数f(x)满足f(2x－1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，则x的取值范围是()

A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))

C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))

解析：由题意f(x)在[0，＋∞)上递增，

又∵f(x)是偶函数，

∴f(2x－1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))?f(|2x－1|)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))?

|2x－1|eq\f(1,3)?－eq\f(1,3)2x－1eq\f(1,3)?eq\f(1,3)xeq\f(2,3).

答案：A

7．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图像是()

解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)0.,c－\f(b2,4)0，))∴b0.f′(x)＝2x＋b，只有A适合．

答案：A

8．方程x3＋x2＋x＋a＝0(a∈R)的实数根的个数为()

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

解析：构造函数利用单调性．由f(x)＝x3＋x2＋x＋a，得f′(x)＝3x2＋2x＋1.

∵Δ＝－80，∴f′(x)0.∴f(x)在R上单调递增．

∵当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，

f(x)→＋∞，

∴f(x)与x轴有一个交点．即f(x)＝0只有一根．

答案：B

9．函数y＝4x－x4在x∈[－1,2]上的最大值，最小值分别是()

A．f(1)与f(－1) B．f(1)与f(2)

C．f(－1)与f(2) D．f(2)与f(－1)

解析：利