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湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，下列结论中正确的是（????）

A． B． C． D．?

2．已知函数的图象关于点对称，则(????)

A． B． C． D．

3．复数满足，则的虚部为（????）

A． B． C．2 D．

4．在边长为的正三角形中，的值为

A． B． C． D．

5．已知，则曲线在点处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．

6．如图，三棱柱中，分别是的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（????）

??

A． B． C． D．

7．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为(???)

A． B． C． D．

8．已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（???）

A．80 B．75 C．70 D．65

二、多选题

9．已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（???）

A．抛物线的焦点坐标是

B．

C．若，则

D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径

10．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（????）

A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望

B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则

C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有种，则数学期望

D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为，则数学期望

11．高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．已知,若，则．

13．2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为.

14．已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是

四、解答题

15．如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点．

??

(1)求证：平面；

(2)平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小．

16．已知，，，分别是角，，的对边，的面积．

(1)证明：；

(2)若为的平分线，交于点，且，，求的长．

17．我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布．

（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？

（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：

人工投入增量x（人）

2

3

4

6

8

10

13

年收益增量y（万元）

13

22

31

42

50

56

58

该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：

模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；

模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有．

（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；

（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．

回归模型

模型①

模型②

回归方程

182.4

79.2

附：若随机变量，则，；

样本的最小二乘估计公式为：，

另，刻画回归效果的相关指数

18．已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.

(1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程;

(2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围;

(3)当时，直线交椭圆于A