弹性力学 课件 第1--3章 绪论； 弹性力学的基本方程； 边界条件.pptx

弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12

弹性力学的基本方程Thebasicequationsofelasticmechanics弹性力学的方程思想01平衡方程02一点处的应力状态03最大、最小应力04几何方程05一点处的应变状态06物理方程07弹性力学方程的张量表达08

弹性力学的方程思想01Theequationideaofelasticmechanics

弹性力学的方程思想z弹性力学问题求解需要满足平衡方程、几何方程、物理方程，用到的求解方法有三类：应力法，位移法，混合法。已知鸡和兔同在一个笼子里，头有35个，脚有94只。问笼中有多少只鸡，多少只兔？设笼中有x只鸡，兔子y只。弹性力学理论体系也具有设未知量、列方程、求解方程的基本框架。弹性力学的未知量：

平衡方程02Equilibriumequation

xyzOPABC在P点附近取一微元体，如图所示，设P点坐标为（x,y,z），且应力状态可由微面PBC，PAC，PAB的应力分量确定，即若弹性体内应力分量为坐标的连续函数,则相邻点的应力分量可通过泰勒级数展开求出。P

依据泰勒级数展开规则，若已知微面PBC、PAC、PAB上的应力分量，则微面PA、PB、PC上的应力分量可写成PABCP过微元体绕过体积中心且平行于z轴的直线为矩轴，列出对矩轴的平衡方程，有

化简后，同理PABCP虑沿三个坐标方向的平衡，以x方向的平衡为例两边同时除以dxdydz，可得考虑沿坐标方向的平衡，以x方向为例，

另外由三个方向轴的力矩平衡：可得到：得到微元体的平衡微分方程为：zPABC——剪应力互等定理P

一点处的应力状态03Stressstateatonepoint

任意斜截面上的应力NxyzOPABCpypzpx设已知物体在P点的应力，在O-xyz坐标系下，可表示为：对P点取如图所示的四面体（微元体），斜截面ABC的外法线方向为N，其方向余弦分别为：设平面ABC的面积为，平面PBC、PAC、PAB的面积分别为：设四面体PABC的体积用代表。有

任意斜截面上的应力同理，考察y，z方向平衡可得设斜面上的应力在三个坐标方向的投影分别为由x方向平衡，得：NxyzOPABCpypzpx

任意斜截面上的应力斜截面上的剪应力?N：斜截面的正应力?N：用矩阵表示：因为斜面上全应力p可表示为NxyzOPABCpypzpx

主应力与应力主向定义：当P点的某一斜面上的剪应力为零时，则该斜面上正应力称为P点的一个主应力。该斜面称为P点的一个应力主面（主平面）。主平面法线方向称为P点一个应力主向，或称主方向。分析：在主应力面上，有则该面上全应力：将p=?向三个坐标轴投影，有（a）（b）

l,m,n要有非零解，要求系数矩阵行列式为0求出求解上述方程，可以得到三个根。三个根中，值最大的为，值最小的为，中间的为，它们就是P点的三个主应力，由此三个主应力描述的应力状态为

例:在材料力学中学过的纯剪应力状态，其应力矩阵可表示为依据式（a）解得将和纯剪状态应力矩阵代入式(b），得联立，得说明，位于方向为或者的微面上，该平面为第一主应力平面。同理，可求出第二主应力平面、第三主应力平面。

应力不变量任意方向的应力分量与主应力方向都应满足：展开，得这说明均不随坐标发生变化，又因为它们是由应力表示的量，因此它们分别被称为第一应力不变量、第二应力不变量、第三应力不变量。

最大、最小应力04Maximumandminimumstresses

最大、最小正应力设?1、?2、?3已知，如图取坐标系，则有按主应力状态，任取一斜截面，其法线N的方向余弦为：l、m、n。由斜截面应力计算公式得：由式：?1?2?3主应力单元体xyzxyzO?1?2?3N?N

最大、最小正应力xyzO?1?2?3N?N将?N视为变量m、n的二元函数，对m、n求偏导数，并令其等于零，有表明：?N的一个极值为?1。同理，再分别消去m和n，可求得：?N的另二个极值为?2、?3。比较极值?1、?2、?3中最大者，即为最大应力；最小者即为最小应力。通常取最大应力——?1；通常取最小应力