石家庄市第一中学高考第一次模拟考试数学答案.docx

石家庄市第一中学2025届高考第一次模拟考试

数学参考答案

1．B

2．C

3．B

4．C

5．B

6．C

7．C

8．C

9．AC

10．AD

11．AB

12．

13．

14．??

15．（1）设等差数列的公差为，，

由，且，，成等比数列，

有，解得或（舍），（3分）

有，

所以数列的通项公式为；（6分）

（2）由，有，（9分）

有，

可得.（13分）

16．（1）由和余弦定理可得.

因为为的内角，所以，故，（3分）

由变形得，由正弦定理得.（7分）

（2）选择条件①：，

由正弦定理得，解得，

因为为的内角，所以，故，

与相互矛盾，故不存在这样的三角形，

所以我们不选择条件①，

选择条件②：，

因为，，所以，

解得，由余弦定理得，

化简得，解得或（舍），

所以.

选择条件③：，

因为，所以.

因为，所以，

由余弦定理得，化简得.

解得或，当时，是直角三角形，与题干不符，故排除，

所以.（15分）

17．(1)证明：取三等分点，由等比例性质可得且，根据已知条件有且，再由平行四边形性质有，最后由线面平行的判定即可证结论.（6分）

（2）法一：由题设易得平面，则为所求二面角的平面角，进而由已知条件及余弦定理即可求二面角的余弦值；法二：构建空间直角坐标系求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值.

(1)

取三等分点，则，且，故且，

又，，即且，

所以四边形为平行四边形，即，

又平面，平面，故平面.

(2)

法一：由平面即平面，且，平面，

所以平面，则为所求二面角的平面角，

在等腰△中，，则，

又，，由，即，

所以，同求法可得，故所求二面角的余弦值为.（15分）

法二：以的中点为坐标原点，以为轴为轴建系如图所示，

则，，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则，若，可得，

，若，可得，

所以，即二面角的余弦值为.（15分）

18．

（1）求出函数的定义域，再对函数求导，然后通导数的正负可求出函数的单调区间，

（2）由函数有两个极值点可得方程的有两个不等正根，则有，求得，，将问题转化为可化为对恒成立，构造函数，利用导数求其最小值即可

(1)

的定义域为，

由，求导得，

令，得，解得，，（3分）

所以当或时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减；（7分）

(2)

的定义域为，求导得，

有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根，

所以，所以，，（10分）

此时不等式恒成立，等价于对恒成立，

可化为对恒成立，

令，则，

令，得，得或（舍去），（13分）

所以当时，，当时，，

故

所以在恒成立，所以在上单调递减，

所以，所以.????????

故实数的取值范围是（17分）

19．（1）设，，

设直线的方程为，

联立方程组，得，（2分）

所以，，

则，（3分）

点到直线的距离为：，

所以，

令，（6分）

则，当即时面积取得最大值，

所以面积的最大值为.（8分）

（2）设，，

设直线的方程为，

联立方程组，得，（10分）

即

所以，即，（12分）

同理可得：，

所以（15分）

化简得：，

当时，取得最大值.（17分）