2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（下）开学数学试卷（含答案）.docx

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2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（下）开学数学试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线过点A(1,0)，B(0,?3)，则直线的倾斜角为

A.π6 B.π3 C.π4

2.圆心为(?1,2)且过原点的圆的方程是(????)

A.(x+1)2+(y?2)2=5 B.(x?1

3.焦点为(0,2)的抛物线标准方程是(????)

A.x2=8y B.x2=4y C.

4.长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1

A.30° B.45° C.60° D.90°

5.已知α，β是两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”的(????)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知椭圆x22+y2=1上一点A和焦点F，AF⊥x轴，若双曲线x2a

A.23 B.12 C.

7.已知圆(x?2)2+(y+1)2=9，直线x+y+m=0，若圆上至少有3个点到直线的距离为2

A.3 B.?3 C.2 D.?2

8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2

A.B.C.9.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4

A.13 B.45 C.65 D.130

10.已知数列{an}的通项公式an=n2?2an，则根据下列说法选出正确答案是(????)

①若a=?12，则数列{1an}的前n项和Sn=1?1n+1；

②若a=

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

11.双曲线C：x24?

12.经过点P(1,0)，且与直线l：y=2x?1平行的直线方程是______．

13.抛物线y2=2px(p0)上一点M到焦点F(1,0)的距离等于3，则点M的坐标为______．

14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=?3，a3+

15.生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美.曲线C：4?|x|=4?y2，下面是关于曲线C的四个结论：

①曲线C关于原点中心对称；

②曲线C上点的横坐标取值范围是[?4,4]；

③曲线C上任一点到坐标原点的最小距离为2；

④若直线y=kx与曲线C无交点，则实数k的取值范围是(?∞,?

三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题8分)

如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．求证：

(Ⅰ

17.(本小题12分)

已知在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，E、F分别为PC、PD的中点，过EF的平面EFG交BC于点G，平面EFG/?/平面PAB．

(Ⅰ)证明：G为BC的中点；

(Ⅱ)取AD的中点O，连接OC，OE，OG，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(i)A到平面EFG的距离；

(ii)二面角G?OE?C的余弦值．

条件①：PC=42；

条件②：CD⊥平面PAD．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

18.(本小题8分)

已知直线l过点P(3,0)，且与椭圆x24+y2=1相交于不同的两点M，N．

(Ⅰ)若M，N中点的纵坐标为22，求直线l的方程；

(

19.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴的两个端点分别为A(0,2)，B(0,?2)，离心率为22．

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程及焦点的坐标；

(Ⅱ)若直线y=kx+4与椭圆E交于不同的两点M，N

参考答案

1.B?

2.A?

3.A?

4.C?

5.A?

6.C?

7.D?

8.C?

9.C?

10.A?

11.1?

12.y=2x?2?

13.(2,±2

14.n?5??10?

15.①③④?

16.证明：(Ⅰ)∵在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点，

∴BE/?/DF，BE=DF，

∴四边形BEFD为平行四边形，

∴BD//EF，

又BD?平面AEF，EF?平面AEF，

∴BD/?/平面AEF．

(Ⅱ)∵在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，

∴AA1⊥BD，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，

由(I)

17.(Ⅰ)证明：因为平面EFG/?/平面PAB，平面PBC∩平面EFG=EG，平面PBC∩平面PAB=PB，

所以EG/?/PB，

又E是PC的中