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常微分方程的几种初等积分法及其应用技巧

目录TOC\o1-3\h\z\u

摘要 I

前言 1

第1章常微分方程与变量可分离类型的解法 2

1.1可以直接分离变量的常微分方程 2

1.1.1一般的变量分离方程 2

1.1.2齐次微分方程 3

1.2可转化为变量分离方程的类型 4

第2章线性微分方程与常数变易法 8

2.1线性微分方程 8

2.2伯努利方程 9

第3章恰当微分方程与积分因子法 12

3.1恰当微分方程 12

3.2积分因子法 12

第4章求解常微分方程的几个技巧 17

4.1分项与组合 17

4.2把微分方程中的变为 18

4.3关于积分因子的选择 20

结论 22

参考文献 23

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摘要

常微分方程的作用之重大和应用之广泛是有目共睹的，有关它的研究正进行的如火如荼。虽然我们可能察觉不到，但它早已渗透在我们的日常生活的各个角落，与我们息息相关。尤其是在信息时代下的全新技术的革命浪潮中，常微分方程与各类学科的互动变得更加多元化，催生出了全新的研究分支，因此掌握有关常微分方程的求解方法是十分必要的。本论文主要针对常微分方程的初等积分法进行了汇总与总结，分条分类地对几类常见的初等解法做了简要的分析，同时结合例题进行演示。通过对不同类型的微分方程求解，揭示它们在求解方面上的技巧和规律，利用实例进行分析，寻找几类方法之间的关联和差异。

关键词：初等积分法；积分因子法；变量分离法；常数变易法；变换技巧

前言

在数学的发展沿革中，数学分析成为了数学这门自然学科中的十分重要的分支，常微分方程也应运而生，它的诞生具有时代性的重要价值。特别地，常微分方程是数学分析王冠上的明珠，是高等数学分析里面大多数思想及理论的发源。自从常微分方程诞生在这个世界，它的强大的功效和优越的便利性早已深入人心，就成为了人们用来研究关于大自然的变化的规律、人类社会的接管与形态、工程技术和生态环境的结构对一系列问题的强有力的工具和利器（顾景轩，沈梦琪，2022）。

科学技术是微分方程之母，而生产与实践又是它的父亲。微分方程是数学这门科学的一个分支，首先它是一种数学语言，经常被用来阐述和解释一些自然规则。自从人类降生在这个世界以来，由此可以明了其意人们就从未停止探索世界的脚步。想要认识这个世界的规律和法则，完全依靠观察和做实验的手段无疑困难重重。倘若我们能够抓住依据某些法则而存在的联系，那么认识该规律也就易如反掌了（蒋昊天，吕雨桐，2023）。很显然，这种规律经常以微分方程的形式呈现在人们面前，求出它的解也就认识了该规律，由此可见能够求出微分方程的解的重要性是不言而喻的。从上可以可以看出该方案相比于其他方案具有更好的性价比，同时在操作简便性和用户体验方面也有显著提升。这不仅有助于缩短项目周期，还能降低培训成本和用户适应新系统的时间，从而更快地实现投资回报。恰当的针对初等解法进行归类，从而能够正确、敏捷地判断给定方程的类型，从这些特征可以推断出再依照方法进行分解，具有重要的实际意义（林子谦，江雅琳，2021）。

现如今，常微分方程在各行各业都扮演着不可替代的角色。由于自身的社会实践性，不仅是在现实生活中的生产实践，而且在各门学科领域中，它的作用和地位都是无法替代和撼动的（贺泽宇，傅雪柔，2021）。其他学科的发展使得常微分方程不断地出现了人们的视野之中，而常微分方程的进步也促使了众多自然学科的深入研究。它所涉及范围之广阔，促使前人对之进行不懈的钻研。这足以表明有了信息革命所带来的高新技术的支持下，该领域的应用在深度与广度上都有了重大突破，被广泛的应用于自然科学与社会科学。

另外，关于常微分方程的探讨与各类学科的互动变得更加多元化，催生出了全新的研究分支。常微分方程作为数学分析中的基础学科，纵然应用常微分方程理论早已得到了举世瞩目的成绩，它现有的理论还是远远不能满足需要（程天佑，苏诗林，2023）。为使它的理论更加完善，仍需进一步的发展，因为良好的理论是探究其他数学理论和应用的基础。

本论文通过给出常微分方程的相关定义和分类，依据目前的结果我们可以推断出并针对它的初积分法进行了的整理和汇总，主要讨论了几种常见的微分方程类型，同时结合具体的实例，展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换方面的策略和方法。在此基础上列举了几个应用，用来凸显它的重要作用。

第1章常微分方程与变量可分离类型的解法

1.1可以直接分离变量的常微分方程

求解方程与研究方程解答性质是数学中的重要基本问题，与许多分支密切相连，在诸多学科中发挥